Problema 52

Considera el punto P(1,0,5) y la recta r dada por $\left\{\begin{aligned}&y&+2z&=0\\x&&&=1\end{aligned}\right.$

a) Determina la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r.

b) Calcula la distancia de P a la recta r y el punto simétrico de P respecto a r.

Solución:

a) Nos piden un plano π que sea perpendicular a r, por tanto, el vector normal del plano π será el vector director de la recta: $\vec n_\pi=\vec v_r.$ Para hallar el vector director de la recta r, lo mejor es escribir la ecuación de la recta en forma paramétrica. En la recta hacemos z=λ, luego

$r\equiv\left\{\begin{array}{ccc}x&=&1\\y&=&-2\lambda\\z&=&\lambda\end{array}\right.$

El vector director de la recta es $\vec v_r=(0,-2,1)=\vec n_\pi.$ La ecuación del plano π es:

$\pi\equiv -2y+z+D=0$

Para calcular D imponemos que el plano π pase por el punto P(1,0,5). Sustituimos las coordenadas de este punto en la ecuación del plano:

$-2\cdot 0+5+D=0\\\\D=-5$

El plano π resulta:

$\pi\equiv -2y+z-5=0$

b1) La distancia de P a r es

$\displaystyle \boxed{d(P,r)=\frac{|\overrightarrow{PP_r}\times\vec v_r|}{|\vec v_r|}}$

donde $P_r$ es un punto cualquiera de la recta r. Tomamos $P_r=(1,0,0)$ de las ecuaciones paramétricas de la recta antes obtenida.

$\overrightarrow{PP_r}=(1,0,0)-(1,0,5)=(0,0,-5)$

$\overrightarrow{PP_r}\times \vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\0&0&-5\\0&-2&1\end{vmatrix}=-10\vec\imath=(-10,0,0)$

$\displaystyle d(P,r)=\frac{|(-10,0,0)|}{|(0,-2,1)|}=\frac{\sqrt{(-10)^2+0^2+0^2}}{\sqrt{0^2+(-2)^2+1^2}}=\frac{10}{\sqrt 5}=2\sqrt 5\mbox{ u.l.}$

b2) Para calcular el punto simétrico de P con respecto a r, primero calculamos un plano perpendicular a r que pase por P. Dicho plano ya está calculado en el apartado a). p52 El plano y la recta se cortan en el punto M que a su vez es el punto medio entre P y P´.