Considera el punto P(1,0,5) y la recta r dada por
a) Determina la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r.
b) Calcula la distancia de P a la recta r y el punto simétrico de P respecto a r.
Solución:
a) Nos piden un plano π que sea perpendicular a r, por tanto, el vector normal del plano π será el vector director de la recta: Para hallar el vector director de la recta r, lo mejor es escribir la ecuación de la recta en forma paramétrica. En la recta hacemos z=λ, luego
El vector director de la recta es La ecuación del plano π es:
Para calcular D imponemos que el plano π pase por el punto P(1,0,5). Sustituimos las coordenadas de este punto en la ecuación del plano:
El plano π resulta:
b1) La distancia de P a r es
donde es un punto cualquiera de la recta r. Tomamos
de las ecuaciones paramétricas de la recta antes obtenida.
b2) Para calcular el punto simétrico de P con respecto a r, primero calculamos un plano perpendicular a r que pase por P. Dicho plano ya está calculado en el apartado a).El plano y la recta se cortan en el punto M que a su vez es el punto medio entre P y P´.
Para calcular el punto M sustituimos las ecuaciones paramétricas de r en la ecuación implícita de π.
Sustituimos ese valor de λ en las paramétricas de la recta y obtenemos M(1,-2,1).
Al ser M el punto medio entre P y P´, se cumple
de donde
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