Problema 52

Considera el punto P(1,0,5) y la recta r dada por \left\{\begin{aligned}&y&+2z&=0\\x&&&=1\end{aligned}\right.

a) Determina la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r.

b) Calcula la distancia de P a la recta r y el punto simétrico de P respecto a r.


Solución:

a) Nos piden un plano π que sea perpendicular a r, por tanto, el vector normal del plano π será el vector director de la recta: \vec n_\pi=\vec v_r. Para hallar el vector director de la recta r, lo mejor es escribir la ecuación de la recta en forma paramétrica. En la recta hacemos z=λ, luego

r\equiv\left\{\begin{array}{ccc}x&=&1\\y&=&-2\lambda\\z&=&\lambda\end{array}\right.

El vector director de la recta es \vec v_r=(0,-2,1)=\vec n_\pi. La ecuación del plano π es:

\pi\equiv -2y+z+D=0

Para calcular D imponemos que el plano π pase por el punto P(1,0,5). Sustituimos las coordenadas de este punto en la ecuación del plano:

-2\cdot 0+5+D=0\\\\D=-5

El plano π resulta:

\pi\equiv -2y+z-5=0


b1) La distancia de P a r es

\displaystyle \boxed{d(P,r)=\frac{|\overrightarrow{PP_r}\times\vec v_r|}{|\vec v_r|}}

donde P_r es un punto cualquiera de la recta r. Tomamos P_r=(1,0,0) de las ecuaciones paramétricas de la recta antes obtenida.

\overrightarrow{PP_r}=(1,0,0)-(1,0,5)=(0,0,-5)

\overrightarrow{PP_r}\times \vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\0&0&-5\\0&-2&1\end{vmatrix}=-10\vec\imath=(-10,0,0)

\displaystyle d(P,r)=\frac{|(-10,0,0)|}{|(0,-2,1)|}=\frac{\sqrt{(-10)^2+0^2+0^2}}{\sqrt{0^2+(-2)^2+1^2}}=\frac{10}{\sqrt 5}=2\sqrt 5\mbox{ u.l.}


b2) Para calcular el punto simétrico de P con respecto a r, primero calculamos un plano perpendicular a r que pase por P. Dicho plano ya está calculado en el apartado a).p52El plano y la recta se cortan en el punto M que a su vez es el punto medio entre P y P´.

Para calcular el punto M sustituimos las ecuaciones paramétricas de r en la ecuación implícita de π.

-2\cdot (-2\lambda)+\lambda-5=0\\\\5\lambda=5\\\\\lambda =1

Sustituimos ese valor de λ en las paramétricas de la recta y obtenemos M(1,-2,1).

Al ser M el punto medio entre P y P´, se cumple

\displaystyle \boxed{M=\frac{P+P'}2}

de donde P'=2M-P=2(1,-2,1)-(1,0,5)=(1,-4,-3)

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