Sea la función definida por
a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de f.
b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
c) Esboza la gráfica de f.
Solución:
a) El dominio de esta función es, como dice en el enunciado, , por tanto, asíntota vertical no tiene.
- Asíntota horizontal.
Indeterminación que se resuelve dividiendo numerador y denominador por x².
f(x) posee asíntota horizontal y su ecuación es y=0, es decir, el eje de abscisas.
No tiene asíntota oblicua.
b) Para estudiar la monotonía de f comenzamos por calcular su derivada:
Calculamos los puntos críticos igualando la derivada a 0 y resolviendo:
Estudiamos la monotonía de f para los intervalos definidos con el dominio y los puntos críticos:
Por la monotonía observamos que en x=-1 existe un mínimo y en x=1 existe un máximo. Calculamos sus respectivas ordenadas:
Ambos extremos son absolutos.
c) Para esbozar la gráfica sería interesante, además de todo lo anterior, los puntos de cortes con los ejes:
- Punto de corte eje x: y=0
- Punto de corte eje y: x=0
Luego, la gráfica corta a los ejes en el punto (0,0).
Con todos los datos acumulados se podría esbozar una gráfica semejante a esta:
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