Problema 53

Sea f~:~\mathbb R\longrightarrow\mathbb R la función definida por \displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}.

a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de f.

b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

c) Esboza la gráfica de f.


Solución:

a) El dominio de esta función es, como dice en el enunciado, \mathbb R, por tanto, asíntota vertical no tiene.

  • Asíntota horizontal.

\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{x^2+1}=\frac{\infty}{\infty}

Indeterminación que se resuelve dividiendo numerador y denominador por x².

\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{x^2+1}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{x}{x^2}}{\frac{x^2+1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1/x}{1+1/x^2}=0^+

\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x}{x^2+1}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-x}{(-x)^2+1}=\frac{\infty}{\infty}\overset{IND}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{-x}{x^2}}{\frac{x^2+1}{x^2}}=\\\\=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-1/x}{1+1/x^2}=0^-

f(x) posee asíntota horizontal y su ecuación es y=0, es decir, el eje de abscisas.

No tiene asíntota oblicua.


b) Para estudiar la monotonía de f comenzamos por calcular su derivada:

\displaystyle f'(x)=\frac{x^2+1-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}

Calculamos los puntos críticos igualando la derivada a 0 y resolviendo:

\displaystyle\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}=0\\\\-x^2+1=0\\\\x^2=1\\\\x=\pm 1

Estudiamos la monotonía de f para los intervalos definidos con el dominio y los puntos críticos:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline &(-\infty ,-1)&(-1,1)&(1,+\infty )\\\hline f'(x)&-&+&-\\\hline f(x)&\mbox{decrece}&\mbox{crece}&\mbox{decrece}\\\hline\end{array}

Por la monotonía observamos que en x=-1 existe un mínimo y en x=1 existe un máximo. Calculamos sus respectivas ordenadas:

f(-1)=-1/2\\\\f(1)=1/2

Ambos extremos son absolutos.


c) Para esbozar la gráfica sería interesante, además de todo lo anterior, los puntos de cortes con los ejes:

  • Punto de corte eje x: y=0

\displaystyle 0=\frac x{x^2+1}\\\\x=0

  • Punto de corte eje y: x=0

\displaystyle y=\frac 0{0^2+1}\\\\y=0

Luego, la gráfica corta a los ejes en el punto (0,0).

Con todos los datos acumulados se podría esbozar una gráfica semejante a esta:

p53

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