Problema 53

Sea $f~:~\mathbb R\longrightarrow\mathbb R$ la función definida por $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}.$

a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de f.

b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

c) Esboza la gráfica de f.

Solución:

a) El dominio de esta función es, como dice en el enunciado, $\mathbb R$ , por tanto, asíntota vertical no tiene.

Asíntota horizontal.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{x^2+1}=\frac{\infty}{\infty}$

Indeterminación que se resuelve dividiendo numerador y denominador por x².

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{x^2+1}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{x}{x^2}}{\frac{x^2+1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1/x}{1+1/x^2}=0^+$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x}{x^2+1}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-x}{(-x)^2+1}=\frac{\infty}{\infty}\overset{IND}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{-x}{x^2}}{\frac{x^2+1}{x^2}}=\\\\=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-1/x}{1+1/x^2}=0^-$

f(x) posee asíntota horizontal y su ecuación es y=0, es decir, el eje de abscisas.

No tiene asíntota oblicua.

b) Para estudiar la monotonía de f comenzamos por calcular su derivada:

$\displaystyle f'(x)=\frac{x^2+1-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}$

Calculamos los puntos críticos igualando la derivada a 0 y resolviendo:

$\displaystyle\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}=0\\\\-x^2+1=0\\\\x^2=1\\\\x=\pm 1$

Estudiamos la monotonía de f para los intervalos definidos con el dominio y los puntos críticos:

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline &(-\infty ,-1)&(-1,1)&(1,+\infty )\\\hline f'(x)&-&+&-\\\hline f(x)&\mbox{decrece}&\mbox{crece}&\mbox{decrece}\\\hline\end{array}$