Sea la función dada por
(ln representa logaritmo neperiano).
a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=1.
b) Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de f, la recta y=x-1 y la recta x=3. Calcula su área.
Solución:
a) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de tangencia es:
En nuestro caso , por tanto
La ecuación de la recta tangente es:
b) Hemos de esbozar las gráficas de tres funciones elementales.
- y=x-1 es una recta que pasa por los puntos (0,-1) y (1,0).
- f(x)=ln(x) es una función elemental cuyas características son conocidas: dominio
, creciente en todo su dominio, tiene asíntota vertical en x=0 para la cual la función toma valores hacia -∞, no tiene asíntota horizontal ni oblicua, y es siempre cóncava. Pasa por los puntos (1,0) y (e,1).
- x=3 es una recta vertical situada en x=3.
La región sombreada es aquella cuya área nos piden calcular. Dicha área la calculamos con la siguiente integral:
Calculamos aparte la primitiva de ln(x) utilizando el método de integración por partes:
La constante de integración no se tiene en cuenta en integrales definidas. Retomamos el cálculo del área:
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