Problema 54

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Selectividad Mat II

Sea f~:~(0,+\infty)\rightarrow\mathbb R la función dada por f(x)=\ln(x) (ln representa logaritmo neperiano).

a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=1.

b) Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de f, la recta y=x-1 y la recta x=3. Calcula su área.

Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de tangencia x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

En nuestro caso x_0=1, por tanto

\displaystyle f(1)=\ln(1)=0\\\\f'(x)=\frac 1x\\\\f'(1)=\frac 11=1

La ecuación de la recta tangente es:

y-0=1(x-1)\\\\y=x-1

b) Hemos de esbozar las gráficas de tres funciones elementales.

  • y=x-1 es una recta que pasa por los puntos (0,-1) y (1,0).
  • f(x)=ln(x) es una función elemental cuyas características son conocidas: dominio \mathbb R^+, creciente en todo su dominio, tiene asíntota vertical en x=0 para la cual la función toma valores hacia -∞, no tiene asíntota horizontal ni oblicua, y es siempre cóncava. Pasa por los puntos (1,0) y (e,1).
  • x=3 es una recta vertical situada en x=3.

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La región sombreada es aquella cuya área nos piden calcular. Dicha área la calculamos con la siguiente integral:

\displaystyle A=\int_1^3(x-1)-\ln(x)~dx

Calculamos aparte la primitiva de ln(x) utilizando el método de integración por partes:

\displaystyle \int\ln(x)~dx\\\\u=\ln(x)\longrightarrow du=\frac 1x~dx\\dv=dx\longrightarrow u=x

\displaystyle \int\ln(x)~dx=x\ln(x)-\int x\cdot\frac 1x~dx=x\;\ln(x)-\int dx=x\ln(x)-x+k

La constante de integración no se tiene en cuenta en integrales definidas. Retomamos el cálculo del área:

\displaystyle A=\int_1^3(x-1)-\ln(x)~dx=\left[\frac{x^2}2-x-(x\ln(x)-x)\right]_1^3=\\\\=\left (\frac 92-3-(3\ln 3-3)\right )-\left (\frac 12-1-(1\ln 1-1)\right)=4-3\ln 3\mbox{ u.a.}

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