Sea 
a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=1.
b) Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de f, la recta y=x-1 y la recta x=3. Calcula su área.
Solución:
a) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de tangencia 
En nuestro caso 
La ecuación de la recta tangente es:
b) Hemos de esbozar las gráficas de tres funciones elementales.
- y=x-1 es una recta que pasa por los puntos (0,-1) y (1,0).
- f(x)=ln(x) es una función elemental cuyas características son conocidas: dominio
, creciente en todo su dominio, tiene asíntota vertical en x=0 para la cual la función toma valores hacia -∞, no tiene asíntota horizontal ni oblicua, y es siempre cóncava. Pasa por los puntos (1,0) y (e,1).
- x=3 es una recta vertical situada en x=3.
La región sombreada es aquella cuya área nos piden calcular. Dicha área la calculamos con la siguiente integral:
Calculamos aparte la primitiva de ln(x) utilizando el método de integración por partes:
La constante de integración no se tiene en cuenta en integrales definidas. Retomamos el cálculo del área:
![\displaystyle A=\int_1^3(x-1)-\ln(x)~dx=\left[\frac{x^2}2-x-(x\ln(x)-x)\right]_1^3=\\\\=\left (\frac 92-3-(3\ln 3-3)\right )-\left (\frac 12-1-(1\ln 1-1)\right)=4-3\ln 3\mbox{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+A%3D%5Cint_1%5E3%28x-1%29-%5Cln%28x%29%7Edx%3D%5Cleft%5B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D2-x-%28x%5Cln%28x%29-x%29%5Cright%5D_1%5E3%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft+%28%5Cfrac+92-3-%283%5Cln+3-3%29%5Cright+%29-%5Cleft+%28%5Cfrac+12-1-%281%5Cln+1-1%29%5Cright%29%3D4-3%5Cln+3%5Cmbox%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle A=\int_1^3(x-1)-\ln(x)~dx=\left[\frac{x^2}2-x-(x\ln(x)-x)\right]_1^3=\\\\=\left (\frac 92-3-(3\ln 3-3)\right )-\left (\frac 12-1-(1\ln 1-1)\right)=4-3\ln 3\mbox{ u.a.}")
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