Problema 55

Se considera el sistema de ecuaciones lineales \left\{\begin{aligned}(3\alpha-1)x&+2y&=&5-\alpha\\\alpha x&+y&=&2\\3\alpha x&+3y&=&\alpha+5\end{aligned}\right.

a) Discútelo según los valores del parámetro α.

b) Resuélvelo para α=1 y determina en dicho caso, si existe, alguna solución donde x=4.


Solución:

a) Para discutir un sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.

Sea la matriz de coeficientes y la matriz ampliada

M=\begin{pmatrix}3\alpha-1&2\\\alpha&1\\3\alpha&3\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}3\alpha-1&2&5-\alpha\\\alpha&1&2\\3\alpha&3&\alpha+5\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz M:

\begin{vmatrix}3\alpha-1&2\\\alpha&1\end{vmatrix}=3\alpha-1-2\alpha=\alpha-1

Este determinante se hace 0 si \alpha-1=0\longrightarrow \alpha=1, por tanto

  • Caso α≠1, el rango de M es 2. Veamos el rango de la matriz M*

\begin{vmatrix}3\alpha-1&2&5-\alpha\\\alpha&1&2\\3\alpha&3&\alpha+5\end{vmatrix}=(3\alpha-1)(\alpha+5)+12\alpha+(5-\alpha)3\alpha-3\alpha(5-\alpha)-2\alpha(\alpha+5)-6(3\alpha-1)=\\\\=3\alpha^2+15\alpha-\alpha-5+12\alpha+15\alpha-3\alpha^2-15\alpha+3\alpha^2-2\alpha^2-10\alpha-18\alpha+6=\\\\=\alpha^2-2\alpha+1=(\alpha-1)^2

Determinante que se hace 0 sí α=1, pero como estamos en el caso α≠1, entonces el rango de M* es 3, y, por tanto, el sistema es incompatible.

  • Caso α=1. En este caso las matrices M y M* son:

M=\begin{pmatrix}2&2\\1&1\\3&3\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}2&2&4\\1&1&2\\3&3&6\end{pmatrix}

En este caso, observamos que el rango de M es 1 ya que la primera y tercera filas son proporcionales a la segunda, es decir, solo hay una fila linealmente independiente. En la matriz ampliada ocurre lo mismo, solo hay una fila linealmente independiente, por tanto, su rango es 1.

En este caso, el sistema es compatible indeterminado, ya que rg(M)=rg(M*)<n.


b) En el caso α=1 el sistema es compatible indeterminado. De las 3 ecuaciones nos quedamos con aquella que definimos como linealmente independiente: la segunda fila o lo que es lo mismo, la segunda ecuación.

x+y=2

Para resolver este sistema hacemos x=λ. La solución del sistema es

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=2-\lambda\end{array}\right.

Existe una solución para x=4, lo cual implica que λ=4. En ese caso y=-2.

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