Problema 56

Considera las rectas r y s dadas por

r\equiv\left\{\begin{array}{ccl}x&=&1+2\lambda\\y&=&1-\lambda\\z&=&1\end{array}\right.\qquad\mbox{y}\qquad s\equiv\left\{\begin{array}{ccc}x+2y&=&-1\\z&=&-1\end{array}\right.

a) Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla la ecuación del plano que las contiene.

b) Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas r y s, calcula su área.


Solución:

a) Dos rectas son coplanarias si son paralelas o se cortan en un punto. Estudiaremos la posición relativa de ambas rectas. Escribimos ambas rectas en paramétricas para obtener un punto de cada recta y sus respectivos vectores directores.

La recta r ya está en paramétricas: P_r=(1,1,1)\mbox{ y }\vec v_r=(2,-1,0)

La recta s está en implícitas. Para pasarla a paramétricas hacemos el cambio y=λ. De esa forma las paramétricas son:

s\equiv\left\{\begin{array}{l}x=-1-2\lambda\\y=\lambda\\z=-1\end{array}\right.

de donde P_s=(-1,0,-1) y \vec v_s=(-2,1,0).

Calculamos el rango de la matriz \begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-2&1&0\end{pmatrix} que es 1 ya que la segunda fila es proporcional a la primera.

Obtenemos el vector \overrightarrow{P_rP_s}=(-1,0,-1)-(1,1,1)=(-2,-1,-2).

Calculamos ahora el rango de la matriz \begin{pmatrix}\vec v_r\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-2&-1&-2\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-1&0\\-1&-2\end{vmatrix}\neq 0.

De los rangos de las dos matrices anteriores se deduce que los planos son paralelos y, por tanto, coplanarios.

El plano que contiene a ambas rectas es aquel plano formado por el punto P_r y tiene por vectores directores \vec v_r y \overrightarrow{P_rP_s}.

\pi\equiv\left\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda-2\mu\\y=1-\lambda-\mu\\z=1-2\mu\end{array}\right.


b) Si dos de los lados de un cuadrado están en dos rectas paralelas, los otros dos lados tienen que ser perpendiculares a dichas rectas y, por tanto, el lado de dicho cuadrado es igual a la distancia entre las rectas, l=d(r,s), siendo

\displaystyle \boxed{d(r,s)=\frac{|\vec v_r\times\overrightarrow{P_rP_s}|}{|\vec v_r|}}

\vec v_r\times\overrightarrow{P_rP_s}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&-1&0\\-2&-1&-2\end{vmatrix}=2\vec\imath-2\vec k-2\vec k+4\vec\jmath=(2,4,-4)

\displaystyle d(r,s)=\frac{\sqrt{2^2+4^2+(-4)^2}}{\sqrt{2^2+(-1)^2+0^2}}=\frac{6}{\sqrt{5}}

Luego el área del cuadrado es:

\displaystyle A=d(r,s)^2=\frac{36}5~\mbox{u.a.}

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