Problema 57

Sabiendo que \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{e^x-1}-\frac m{2x}\right) es finito, calcula m y el valor del límite.


Solución:

Comenzamos por restar las dos fracciones:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{e^x-1}-\frac m{2x}\right)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x-m(e^x-1)}{(e^x-1)2x}=\frac 00

Para resolver esta indeterminación utilizamos la regla de L’Hopital:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x-m(e^x-1)}{(e^x-1)2x}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2-me^x}{e^x2x+2(e^x-1)}=\frac{2-m}0

Para que este resultado no sea infinito, ha de ser 2-m=0, por tanto, m=2. Con este valor de m calculamos el límite:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2-2e^x}{e^x2x+2(e^x-1)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-e^x}{xe^x+e^x-1}=\frac 00=\\\\\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-e^x}{e^x+xe^x+e^x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(-1)e^x}{(1+x+1)e^x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-1}{2+x}=\frac{-1}2

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