Problema 58

Sea f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=x^4. Encuentra la recta horizontal a la gráfica de f formando con ella un recinto con área 8/5.


Solución:

La función f(x)=x^4 tiene una gráfica parecida a la de x²: decreciente en (-∞,0) y creciente en (0,+∞), y convexa en todo su dominio. Pasa por los puntos (0,0), (1,1), (-1,1).

Por otra parte, hemos de hallar una recta horizontal y=k con k>0, tal que el recinto limitado por esta recta y la grafica de x⁴ tenga el área pedida.

Comenzamos por hacer un esbozo de la gráfica de ambas funciones:

p58

El área del recinto se calcula con la integral

\displaystyle A=\int_a^bk-x^4~dx

Vamos a calcular los límites de integración a y b que es donde se cortan las dos gráficas

k=x^4\\\\x=\pm\sqrt[4]k

Por tanto, el área es

\displaystyle \int_{-\sqrt[4]k}^{\sqrt[4]k}k-x^4~dx=\left[kx-\frac{x^5}5\right]_{-\sqrt[4]k}^{\sqrt[4]k}=\\\\=\left(k\sqrt[4]k-\frac{\sqrt[4]k^5}5\right)-\left(k(-\sqrt[4]k)-\frac{(-\sqrt[4]k)^5}5\right)=\\\\=2\left(k\sqrt[4]k-\frac{\sqrt[4]k^5}5\right)=2\left(k\sqrt[4]k-\frac{\sqrt[4]k^5}5\right)=2~\frac{4k\sqrt[4]k}5=\frac{8k\sqrt[4]k}5=\frac{8\sqrt[4]{k^5}}5=\frac 85

Por tanto,

\sqrt[4]{k^5}=1\\\\k^5=1^4=1\\\\k=\sqrt[5]1=1

y la recta horizontal buscada y=1.

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