Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

a) Discute el sistema según los valores de λ.

b) Resuélvelo, si es posible, para λ=4.

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Solución:

a) Para discutir el sistema de ecuaciones haremos uso del teorema de Rouché-Fröbenius.

Primero escribimos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

Se puede demostrar que y dado que , entonces el rango de M es 2 para todo

Para calcular el rango de la matriz ampliada calculamos el siguiente determinante:

Determinante que vale 0 si λ=4.

• Caso λ≠4. En este caso el rango de M vale 2 mientras que el rango de M* es 3. Se tiene un sistema incompatible.
• Caso λ=4. En este caso el rango de M vale 2 igual que el rango de M*. Como n=3, se tiene un sistema compatible indeterminado.

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b) El sistema es compatible indeterminado para λ=4 y se puede, por tanto, resolver. La solución utiliza n-rg(M) parámetros: en nuestro caso 1.

Reescribimos el sistema de ecuaciones equivalente al original pero solo con las ecuaciones linealmente independientes.

Hacemos el cambio z=α.

Resolvemos este sistema utilizando la regla de Cramer.

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