Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,
a) Discute el sistema según los valores de λ.
b) Resuélvelo, si es posible, para λ=4.
Solución:
a) Para discutir el sistema de ecuaciones haremos uso del teorema de Rouché-Fröbenius.
Primero escribimos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.
Se puede demostrar que y dado que
, entonces el rango de M es 2 para todo
Para calcular el rango de la matriz ampliada calculamos el siguiente determinante:
Determinante que vale 0 si λ=4.
- Caso λ≠4. En este caso el rango de M vale 2 mientras que el rango de M* es 3. Se tiene un sistema incompatible.
- Caso λ=4. En este caso el rango de M vale 2 igual que el rango de M*. Como n=3, se tiene un sistema compatible indeterminado.
b) El sistema es compatible indeterminado para λ=4 y se puede, por tanto, resolver. La solución utiliza n-rg(M) parámetros: en nuestro caso 1.
Reescribimos el sistema de ecuaciones equivalente al original pero solo con las ecuaciones linealmente independientes.
Hacemos el cambio z=α.
Resolvemos este sistema utilizando la regla de Cramer.
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