Problema 59

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

\left\{\begin{array}{c}2x-4y+2z=1\\5x-11y+9z=\lambda\\x-3y+5z=2\end{array}\right.

a) Discute el sistema según los valores de λ.

b) Resuélvelo, si es posible, para λ=4.


Solución:

a) Para discutir el sistema de ecuaciones haremos uso del teorema de Rouché-Fröbenius.

Primero escribimos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

M=\begin{pmatrix}2&-4&2\\5&-11&9\\1&-3&5\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}2&-4&2&1\\5&-11&9&\lambda\\1&-3&5&2\end{pmatrix}

Se puede demostrar que |M|=0 y dado que \begin{vmatrix}2&-4\\5&-11\end{vmatrix}=-2\neq 0, entonces el rango de M es 2 para todo \lambda\in\mathbb R.

Para calcular el rango de la matriz ampliada calculamos el siguiente determinante:

\begin{vmatrix}2&-4&1\\5&-11&\lambda\\1&-3&2\end{vmatrix}=-44-4\lambda-15+11+40+6\lambda=2\lambda-8

Determinante que vale 0 si λ=4.

  • Caso λ≠4. En este caso el rango de M vale 2 mientras que el rango de M* es 3. Se tiene un sistema incompatible.
  • Caso λ=4. En este caso el rango de M vale 2 igual que el rango de M*. Como n=3, se tiene un sistema compatible indeterminado.

b) El sistema es compatible indeterminado para λ=4 y se puede, por tanto, resolver. La solución utiliza n-rg(M) parámetros: en nuestro caso 1.

Reescribimos el sistema de ecuaciones equivalente al original pero solo con las ecuaciones linealmente independientes.

\left\{\begin{array}{c}2x-4y+2z=1\\5x-11y+9z=4\end{array}\right.

Hacemos el cambio z=α.

\left\{\begin{array}{c}2x-4y=1-2\alpha\\5x-11y=4-9\alpha\end{array}\right.

Resolvemos este sistema utilizando la regla de Cramer.

\displaystyle x=\frac{\begin{vmatrix}1-2\alpha&-4\\4-9\alpha&-11\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-4\\5&-11\end{vmatrix}}=\frac{-11+22\alpha+16-36\alpha}{-2}=\frac{5-14\alpha}{-2}

\displaystyle y=\frac{\begin{vmatrix}2&1-2\alpha\\5&4-9\alpha\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-4\\5&-11\end{vmatrix}}=\frac{8-18\alpha-5+10\alpha}{-2}=\frac{3-8\alpha}{-2}

z=\alpha

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