Problema 60

Considera el punto A(1,-1,1) y la recta r dada por \left\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda\\y=1-\lambda\\z=1\end{array}\right.

a) Calcula las coordenadas del punto simétrico de A respecto de r.

b) Determina la ecuación del plano que contiene a r y pasa por A.


Solución:

a) Para calcular el punto simétrico de A respecto de la recta r, primero calculamos un plano π perpendicular a r y que pase por A.

Por ser π⊥r, entonces tomamos como vector normal de π el vector director de r:

\vec n_\pi=\vec v_r=(2,-1,0)

Podemos escribir la ecuación implícita de π: 2xy+D=0. Para obtener D imponemos que π pasa por A.

2\cdot 1-(-1)+D=0\\\\D=-3

Luego π: 2xy-3=0.

A continuación calculamos el punto medio M entre A y su simétrico: M=π∩r. Lo calculamos sustituyendo las ecuaciones paramétricas de la recta en la implícita del plano:

2\cdot(1+2\lambda)-(1-\lambda)-3=0\\\\2+4\lambda-1+\lambda-3=0\\\\5\lambda-4=0\\\\\lambda=4/5

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de la recta obtenemos el punto M: M=(13/5,1/5,1).

Por último queda imponer que M es el punto medio entre A y A´.

\displaystyle M=\frac{A+A'}2\\\\A'=2M-A=2(13/5,1/5,1)-(1,-1,1)=(21/5,7/5,1)


b) El plano α que pasa por A y contiene a r lo construimos con el propio punto A, con el vector director de r y con un vector que una el punto A con un punto cualquiera de la recta, por ejemplo, P_r=(1,1,1).

\overrightarrow{AP_r}=(1,1,1)-(1,-1,1)=(0,2,0)

Con todos estos datos ya podemos construir la ecuación del plano α:

\begin{vmatrix}x-1&y+1&z-1\\2&-1&0\\0&2&0\end{vmatrix}=4(z-1)=4z-4

\pi\equiv 4z-4=0 o simplificado \pi\equiv z-1=0.

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