Considera el punto A(1,-1,1) y la recta r dada por
a) Calcula las coordenadas del punto simétrico de A respecto de r.
b) Determina la ecuación del plano que contiene a r y pasa por A.
Solución:
a) Para calcular el punto simétrico de A respecto de la recta r, primero calculamos un plano π perpendicular a r y que pase por A.
Por ser π⊥r, entonces tomamos como vector normal de π el vector director de r:
Podemos escribir la ecuación implícita de π: 2x–y+D=0. Para obtener D imponemos que π pasa por A.
Luego π: 2x–y-3=0.
A continuación calculamos el punto medio M entre A y su simétrico: M=π∩r. Lo calculamos sustituyendo las ecuaciones paramétricas de la recta en la implícita del plano:
Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de la recta obtenemos el punto M: M=(13/5,1/5,1).
Por último queda imponer que M es el punto medio entre A y A´.
b) El plano α que pasa por A y contiene a r lo construimos con el propio punto A, con el vector director de r y con un vector que una el punto A con un punto cualquiera de la recta, por ejemplo, .
Con todos estos datos ya podemos construir la ecuación del plano α:
o simplificado
.
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