Problema 60

Considera el punto A(1,-1,1) y la recta r dada por $\left\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda\\y=1-\lambda\\z=1\end{array}\right.$

a) Calcula las coordenadas del punto simétrico de A respecto de r.

b) Determina la ecuación del plano que contiene a r y pasa por A.

Solución:

a) Para calcular el punto simétrico de A respecto de la recta r, primero calculamos un plano π perpendicular a r y que pase por A.

Por ser π⊥r, entonces tomamos como vector normal de π el vector director de r:

$\vec n_\pi=\vec v_r=(2,-1,0)$

Podemos escribir la ecuación implícita de π: 2x–y+D=0. Para obtener D imponemos que π pasa por A.

$2\cdot 1-(-1)+D=0\\\\D=-3$

Luego π: 2x–y-3=0.

A continuación calculamos el punto medio M entre A y su simétrico: M=π∩r. Lo calculamos sustituyendo las ecuaciones paramétricas de la recta en la implícita del plano:

$2\cdot(1+2\lambda)-(1-\lambda)-3=0\\\\2+4\lambda-1+\lambda-3=0\\\\5\lambda-4=0\\\\\lambda=4/5$

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de la recta obtenemos el punto M: M=(13/5,1/5,1).

Por último queda imponer que M es el punto medio entre A y A´.

$\displaystyle M=\frac{A+A'}2\\\\A'=2M-A=2(13/5,1/5,1)-(1,-1,1)=(21/5,7/5,1)$

b) El plano α que pasa por A y contiene a r lo construimos con el propio punto A, con el vector director de r y con un vector que una el punto A con un punto cualquiera de la recta, por ejemplo, $P_r=(1,1,1)$ .