Problema 61

Sea f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=x^2e^{-x^2}.

a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

c) Esboza la gráfica de f.


Solución:

a) El dominio de esta función es \mathbb R, por tanto no tiene asíntota vertical.

Veamos si tiene asíntota horizontal:

\displaystyle \lim_{x\longrightarrow +\infty}x^2e^{-x^2}=\infty\cdot0

indeterminación que se resuelve pasando uno de los dos factores al denominador

\displaystyle \lim_{x\longrightarrow +\infty}x^2e^{-x^2}=\lim_{x\longrightarrow +\infty}\frac{x^2}{e^{x^2}}=\frac{\infty}{\infty}

Esta indeterminación la resolvemos aplicando la regla de L’Hopital:

\displaystyle \lim_{x\longrightarrow +\infty}\frac{x^2}{e^{x^2}}\overset{L'H}=\lim_{x\longrightarrow +\infty}\frac{2x}{e^{x^2}2x}=\lim_{x\longrightarrow +\infty}\frac 1{e^{x^2}}=\frac 1{+\infty}=0^+

Ahora veamos si tiene asíntota horizontal hacia la zona negativa del eje x:

\displaystyle \lim_{x\longrightarrow -\infty}x^2e^{-x^2}=\infty\cdot0=\lim_{x\longrightarrow -\infty}\frac{x^2}{e^{x^2}}=\frac{\infty}{\infty}\overset{L'H}=\lim_{x\longrightarrow -\infty}\frac{2x}{e^{x^2}2x}=\lim_{x\longrightarrow -\infty}\frac{1}{e^{x^2}}=\frac{1}{+\infty}=0^+

Sí tiene, por tanto, asíntota horizontal y su ecuación es y=0. No tiene asíntota oblicua.


b) Para estudiar la monotonía comenzamos por calcular los puntos críticos de la función.

f'(x)=2xe^{-x^2}+x^2e^{-x^2}(-2x)=2xe^{-x^2}(1-x^2)

Las raíces de esta función o puntos críticos son:

2x=0\rightarrow x=0\\\\e^{-x^2}=0\rightarrow!!!\\\\1-x^2=0\rightarrow x=\pm 1

Estudiamos la monotonía de f para los intervalos definidos con el dominio y los puntos críticos:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &(-\infty ,-1)&(-1,0)&(0,1)&(1,+\infty )\\\hline f'(x)&+&-&+&-\\\hline f(x)&\mbox{crece}&\mbox{decrece}&\mbox{crece}&\mbox{decrece}\\\hline\end{array}

Crece: (-∞,-1)∪(0,1)

Decrece: (-1,0)∪(1,+∞)

A la vista de los resultados de la monotonía se infiere que existe un máximo en (x,y)=(-1,1/e) y en (x,y)=(1,1/e). Existe un mínimo en (x,y)=(0,0).


c) A partir de los datos obtenidos anteriormente se puede obtener una gráfica parecida a la siguiente:

p61

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