Problema 62

Calcula \displaystyle\int\frac x{1+\sqrt{x}}~dx        (sugerencia: t=\sqrt x).


Solución:

Dado el cambio sugerido obtenemos lo siguiente:

\sqrt{x}=t\\x=t^2\\dx=2t~dt

Sustituyendo en la integral:

\displaystyle\int\frac x{1+\sqrt{x}}~dx=\int\frac{t^2}{1+t}~2t~dt=2\int\frac{t^3}{1+t}~dt

La integral resultante es una integral racional donde el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador. Descomponemos dicha fracción en cociente y resto:

\displaystyle 2\int\frac{t^3}{1+t}~dt=2\int t^2-t+1~dt-2\int\frac{1}{1+t}~dt=\\\\=2\left(\frac{t^3}3-\frac{t^2}2+t-\ln|1+t|\right)=\frac{2t^3-3t^2+6t-6\ln|1+t|}3=\\\\=\frac{2x\sqrt x-3x+6\sqrt x-6\ln|1+\sqrt x|}3+k

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