Problema 63

Considera $A=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&-1&-1\\0&0&0\end{pmatrix}$ .

a) Calcula el rango de $AB^t+\lambda I$ según los valores de λ ( $B^t$ es la matriz traspuesta de B, I es la matriz identidad de orden 3).

b) Calcula la matriz X que verifica CX–X=2I.

Solución:

a) Calculamos en primer lugar $AB^t+\lambda I$

$AB^t=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&-1&-1\\0&0&0&\end{pmatrix}$

$AB^t+\lambda I=\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&-1&-1\\0&0&0&\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&\lambda\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\lambda&1&1\\-1&-1+\lambda&-1\\0&0&\lambda\end{pmatrix}$

Veamos bajo qué condiciones el rango de esta matriz es 3:

$\begin{vmatrix}1+\lambda&1&1\\-1&-1+\lambda&-1\\0&0&\lambda\end{vmatrix}=\lambda(1+\lambda)(-1+\lambda)+\lambda=\lambda(-1+\lambda-\lambda+\lambda^2+1)=\lambda^3$

Igualamos este determinante a 0 y resolvemos:

$\lambda^3=0\longrightarrow\lambda=0$

Caso λ≠0. En este caso $\mbox{rg}(AB^t+\lambda I)=3$
Caso λ=0.

$AB^t+\lambda I=\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&-1&-1\\0&0&0\end{pmatrix}$

Y su rango vale 1 ya que la fila 3 es una fila nula, y la segunda fila es proporcional a la primera. Podemos considerar que solo la primera fila es linealmente independiente y que las otras dos son combinación lineal de aquella.

b) Nos piden resolver la ecuación CX–X=2I. En primer lugar despejamos la matriz X:

$CX-X=2I\\\\(C-I)X=2I\\\\X=(C-I)^{-1}2I\\\\X=2(C-I)^{-1}$

$C-I=\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&-1&-1\\0&0&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&1\\-1&-2&-1\\0&0&-1\end{pmatrix}$

Necesitamos la matriz inversa de C–I.

$\displaystyle (C-I)^{-1}=\frac 1{|C-I|}~(\mbox{Adj}(C-I))^t$

$|C-I|=\begin{vmatrix}0&1&1\\-1&-2&-1\\0&0&-1\end{vmatrix}=-1$

$\mbox{Adj}(C-I)=\begin{pmatrix}\begin{vmatrix}-2&-1\\0&-1\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}-1&-1\\0&-1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}-1&-2\\0&0\end{vmatrix}\\-\begin{vmatrix}1&1\\0&-1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}0&1\\0&-1\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}0&1\\0&0\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix}1&1\\-2&-1\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}0&1\\-1&-1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}0&1\\-1&-2\end{vmatrix}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1&0\\1&0&0\\1&-1&1\end{pmatrix}$