Problema 63

Considera A=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} y C=\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&-1&-1\\0&0&0\end{pmatrix}.

a) Calcula el rango de AB^t+\lambda I según los valores de λ (B^t es la matriz traspuesta de B, I es la matriz identidad de orden 3).

b) Calcula la matriz X que verifica CXX=2I.


Solución:

a) Calculamos en primer lugar AB^t+\lambda I

AB^t=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&-1&-1\\0&0&0&\end{pmatrix}

AB^t+\lambda I=\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&-1&-1\\0&0&0&\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&\lambda\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\lambda&1&1\\-1&-1+\lambda&-1\\0&0&\lambda\end{pmatrix}

Veamos bajo qué condiciones el rango de esta matriz es 3:

\begin{vmatrix}1+\lambda&1&1\\-1&-1+\lambda&-1\\0&0&\lambda\end{vmatrix}=\lambda(1+\lambda)(-1+\lambda)+\lambda=\lambda(-1+\lambda-\lambda+\lambda^2+1)=\lambda^3

Igualamos este determinante a 0 y resolvemos:

\lambda^3=0\longrightarrow\lambda=0

  • Caso λ≠0. En este caso \mbox{rg}(AB^t+\lambda I)=3
  • Caso λ=0.

AB^t+\lambda I=\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&-1&-1\\0&0&0\end{pmatrix}

Y su rango vale 1 ya que la fila 3 es una fila nula, y la segunda fila es proporcional a la primera. Podemos considerar que solo la primera fila es linealmente independiente y que las otras dos son combinación lineal de aquella.


b) Nos piden resolver la ecuación CXX=2I. En primer lugar despejamos la matriz X:

CX-X=2I\\\\(C-I)X=2I\\\\X=(C-I)^{-1}2I\\\\X=2(C-I)^{-1}

C-I=\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&-1&-1\\0&0&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&1\\-1&-2&-1\\0&0&-1\end{pmatrix}

Necesitamos la matriz inversa de CI.

\displaystyle (C-I)^{-1}=\frac 1{|C-I|}~(\mbox{Adj}(C-I))^t

|C-I|=\begin{vmatrix}0&1&1\\-1&-2&-1\\0&0&-1\end{vmatrix}=-1

\mbox{Adj}(C-I)=\begin{pmatrix}\begin{vmatrix}-2&-1\\0&-1\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}-1&-1\\0&-1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}-1&-2\\0&0\end{vmatrix}\\-\begin{vmatrix}1&1\\0&-1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}0&1\\0&-1\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}0&1\\0&0\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix}1&1\\-2&-1\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}0&1\\-1&-1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}0&1\\-1&-2\end{vmatrix}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1&0\\1&0&0\\1&-1&1\end{pmatrix}

(C-I)^{-1}=\begin{pmatrix}-2&-1&-1\\1&0&1\\0&0&-1\end{pmatrix}

Y, por tanto:

X=\begin{pmatrix}-4&-2&-2\\2&0&2\\0&0&-2\end{pmatrix}

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