Problema 64

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Calcula la distancia entre las rectas dadas por las siguientes ecuaciones

r\equiv x=y=z\qquad s\equiv\left\{\begin{array}{l}x=1+\mu\\y=3+\mu\\z=-\mu\end{array}\right.

Solución:

Escribimos ambas rectas en forma vectorial:

r:~(x,y,z)=(0,0,0)+\lambda(1,1,1)\\s:~(x,y,z)=(1,3,0)+\mu(1,1,-1)

El rango de la matriz formada por los vectores directores \begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&-1\end{pmatrix} es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}\neq0. Por tanto, las rectas no son paralelas, entonces utilizamos la fórmula de la distancia para dos rectas que se cruzan:

\displaystyle\boxed{d(r,s)=\frac{|[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]|}{|\vec v_r\times\vec v_s|}}

siendo P_r\mbox{ y }P_s puntos cualesquiera de las rectas r y s.

Calculamos ahora todos los elementos necesarios para nuestro cálculo:

\overrightarrow{P_rP_s}=(1,3,0)-(0,0,0)=(1,3,0)

[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\1&3&0\end{vmatrix}=-1+3-1+3=4

\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&1&1\\1&1&-1\end{vmatrix}=-\vec\imath+\vec\jmath+\vec k-\vec k+\vec\jmath-\vec\imath=(-2,2,0)

Luego

\displaystyle d(r,s)=\frac{|4|}{\sqrt{(-2)^2+2^2+0^2}}=\frac{4}{\sqrt{8}}=\sqrt2\mbox{ u.l.}

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