Problema 65

Sea f:~\mathbb R\longrightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=(e^{ax}+b)x, con a≠0. Calcula a y b sabiendo que f tiene un extremo relativo en x=0 y su gráfica, un punto de inflexión en el punto cuya abscisa es x=1.


Solución:

Si tiene un extremo relativo en x=0, significa que f'(0)=0. Si tiene un punto de inflexión en x=1, eso implica que f''(1)=0.

Tenemos de esta manera 2 ecuaciones para obtener las 2 incógnitas.

f(x)=(e^{ax}+b)x\\\\f'(x)=e^{ax}ax+e^{ax}+b=e^{ax}(ax+1)+b\\\\f''(x)=e^{ax}a(ax+1)+e^{ax}a=e^{ax}a(ax+2)

f'(0)=e^{a\cdot 0}(a\cdot 0+1)+b=1\cdot(1)+b=0\longrightarrow \mathbf{b=-1}\\\\f''(1)=e^{a}a(a+2)=0

ecuación esta última que tiene varias soluciones: a=0 (descartada por el enunciado) y a=-2.

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