Problema 67

Considera el sistema de ecuaciones dado en forma matricial mediante AX=B siendo

A=\begin{pmatrix}1&1&2\\-1&m+2&m\\1&1&m+2\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}1-m\\m\\7\end{pmatrix}\qquad X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}

a) Discute el sistema según los valores de m.

b) Resuelve el sistema para m=-3 y determina en dicho caso, si existe, una solución en la que x=2.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius, donde A es la matriz de coeficientes y la matriz ampliada es

A^*=\begin{pmatrix}1&1&2&1-m\\-1&m+2&m&m\\1&1&m+2&7\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes:

\begin{vmatrix}1&1&2\\-1&m+2&m\\1&1&m+2\end{vmatrix}=(m+2)^2+m-2-2(m+2)+m+2-m=m^2+4m+4+m-2-2m-4+2=m^2+3m

Igualamos a 0 y resolvemos:

m^2+3m=0\\\\m(m+3)=0

cuyas soluciones son m=0 y m=-3.

  • Caso m≠0 y m≠-3. En este caso el rg(A)=3=rg(A)=n, por tanto, el sistema es compatible determinado.
  • Caso m=0.

\begin{vmatrix}1&1\\-1&2\end{vmatrix}=3 por tanto rg(A)=2. Veamos el rango de A*:

\begin{vmatrix}1&1&1\\-1&2&0\\1&1&7\end{vmatrix}=14-1-2+7=18 con lo que rg(A*)=3, y por lo que el sistema es incompatible en este caso.

  • Caso m=-3.

\begin{vmatrix}1&2\\-1&-3\end{vmatrix}=-1 por lo que rg(A)=2. Ahora calculamos el rango de A*:

\begin{vmatrix}1&2&4\\-1&-3&-3\\1&-1&7\end{vmatrix}=-21-6+4+12+14-3=0 por lo que rg(A*)=2 y el sistema es en este caso compatible indeterminado.


b) En el caso m=-3 el sistema se transforma en el siguiente:

\left\{\begin{array}{l}x+y+2z=4\\-x-y-3z=-3\end{array}\right.

que son las dos ecuaciones que hemos utilizado para determinar el rango 2 de las matrices de coeficientes y ampliada.

Para resolver el sistema hacemos el cambio y=λ:

\left\{\begin{array}{l}x+2z=4-\lambda\\-x-3z=-3+\lambda\end{array}\right.

y resolvemos este sistema utilizando la regla de Cramer:

\displaystyle x=\frac{\begin{vmatrix}4-\lambda&2\\-3+\lambda&-3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2\\-1&-3\end{vmatrix}}=\frac{-12+3\lambda+6-2\lambda}{-1}=6-\lambda

y=\lambda

\displaystyle z=\frac{\begin{vmatrix}1&4-\lambda\\-1&-3+\lambda\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2\\-1&-3\end{vmatrix}}=\frac{-3+\lambda+4-\lambda}{-1}=-1

Veamos ahora si existe una solución con x=2. Como x=6-λ, entonces ha de ser λ=4. Por tanto, la solución del sistema con m=-3 y x=2 es:

(x,y,z)=(2,4,-1)

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