Considera el plano π de ecuación x+2y+z=1.
a) Halla el punto de π más próximo al punto P(3,1,2).
b) Determina la ecuación de un plano paralelo a π que forme con los ejes de coordenadas un triángulo de área .
Solución:
a) Para hallar el punto Q del plano π más próximo al punto P, hemos de construir una recta r perpendicular al plano π que pase por P. La intersección de dicha recta con el plano es el punto Q que se pide:
La recta r, por ser perpendicular a π tendrá por vector director uno proporcional al vector normal del plano: .
Luego la ecuación vectorial de la recta es: . En paramétricas:
Para obtener Q, sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en la implícita del plano:
Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de r, obtenemos Q:
b) Hemos de calcular un plano α paralelo a π. Por ser paralelo, la ecuación implícita de dicho plano será:
Ahora hemos de calcular los puntos donde el plano corta con los ejes de coordenadas. Llamaremos a esos puntos A, B y C:
Ahora que ya tenemos los 3 puntos del triángulo, se calcula el área S que forman.
Este área lo igualamos a como dice el enunciado y resolvemos:
Luego los planos paralelos a π buscados son:
♦