Problema 68

Considera el plano π de ecuación x+2y+z=1.

a) Halla el punto de π más próximo al punto P(3,1,2).

b) Determina la ecuación de un plano paralelo a π que forme con los ejes de coordenadas un triángulo de área \sqrt6.


Solución:

a) Para hallar el punto Q del plano π más próximo al punto P, hemos de construir una recta r perpendicular al plano π que pase por P. La intersección de dicha recta con el plano es el punto Q que se pide:

Q=r\cap\pi

La recta r, por ser perpendicular a π tendrá por vector director uno proporcional al vector normal del plano: \vec v_r=\vec n_\pi=(1,2,1).

Luego la ecuación vectorial de la recta es: r:~(x,y,z)=(3,1,2)\lambda(1,2,1). En paramétricas:

r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=3+\lambda\\y=1+2\lambda\\z=2+\lambda\end{array}\right.

Para obtener Q, sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en la implícita del plano:

3+\lambda+2(1+2\lambda)+2+\lambda=1\\\\6\lambda=-6\\\\\lambda=-1

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de r, obtenemos Q:

Q=(2,-1,1)


b) Hemos de calcular un plano α paralelo a π. Por ser paralelo, la ecuación implícita de dicho plano será: \alpha:~x+2y+z+D=0

Ahora hemos de calcular los puntos donde el plano corta con los ejes de coordenadas. Llamaremos a esos puntos A, B y C:

A=\alpha\cap\mbox{eje }x=\left\{\begin{array}{l}x+2y+z+D=0\\y=0\\z=0\end{array}\right.

A=(-D,0,0)

B=\alpha\cap\mbox{eje }y=\left\{\begin{array}{l}x+2y+z+D=0\\x=0\\z=0\end{array}\right.

B=(0,-D/2,0)

C=\alpha\cap\mbox{eje }z=\left\{\begin{array}{l}x+2y+z+D=0\\x=0\\y=0\end{array}\right.

C=(0,0,-D)

Ahora que ya tenemos los 3 puntos del triángulo, se calcula el área S que forman.

\displaystyle \boxed{S=\frac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}2}

\overrightarrow{AB}=(0,-D/2,0)-(-D,0,0)=(D,-D/2,0)\\\\\overrightarrow{AC}=(0,0,-D)-(-D,0,0)=(D,0,-D)

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\D&-D/2&0\\D&0&-D\end{vmatrix}=(D^2/2)\vec\imath+(D^2/2)\vec k+D^2\vec\jmath=(D^2/2,D^2,D^2/2)

\displaystyle S=\frac{\sqrt{(D^2/2)^2+(D^2)^2+(D^2/2)^2}}2=\frac{\sqrt{D^4/4+D^4+D^4/4}}2=\\\\=\frac{D^2\sqrt{1/4+1+1/4}}2=\frac{D^2\sqrt 6/2}2=\frac{D^2\sqrt 6}4

Este área lo igualamos a \sqrt 6 como dice el enunciado y resolvemos:

\displaystyle \frac{D^2\sqrt 6}4=\sqrt 6\\\\\frac{D^2}4=1\\\\D^2=4\\\\D=\pm 2

Luego los planos paralelos a π buscados son:

\alpha_1:~x+2y+z+2=0\\\alpha_2:~x+2y+z-2=0

Deja un comentario