Problema 68

Considera el plano π de ecuación x+2y+z=1.

a) Halla el punto de π más próximo al punto P(3,1,2).

b) Determina la ecuación de un plano paralelo a π que forme con los ejes de coordenadas un triángulo de área $\sqrt6$ .

Solución:

a) Para hallar el punto Q del plano π más próximo al punto P, hemos de construir una recta r perpendicular al plano π que pase por P. La intersección de dicha recta con el plano es el punto Q que se pide:

$Q=r\cap\pi$

La recta r, por ser perpendicular a π tendrá por vector director uno proporcional al vector normal del plano: $\vec v_r=\vec n_\pi=(1,2,1)$ .

Luego la ecuación vectorial de la recta es: $r:~(x,y,z)=(3,1,2)\lambda(1,2,1)$ . En paramétricas:

$r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=3+\lambda\\y=1+2\lambda\\z=2+\lambda\end{array}\right.$

Para obtener Q, sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en la implícita del plano:

$3+\lambda+2(1+2\lambda)+2+\lambda=1\\\\6\lambda=-6\\\\\lambda=-1$

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de r, obtenemos Q:

$Q=(2,-1,1)$

b) Hemos de calcular un plano α paralelo a π. Por ser paralelo, la ecuación implícita de dicho plano será: $\alpha:~x+2y+z+D=0$

Ahora hemos de calcular los puntos donde el plano corta con los ejes de coordenadas. Llamaremos a esos puntos A, B y C:

$A=\alpha\cap\mbox{eje }x=\left\{\begin{array}{l}x+2y+z+D=0\\y=0\\z=0\end{array}\right.$

$A=(-D,0,0)$

$B=\alpha\cap\mbox{eje }y=\left\{\begin{array}{l}x+2y+z+D=0\\x=0\\z=0\end{array}\right.$

$B=(0,-D/2,0)$

$C=\alpha\cap\mbox{eje }z=\left\{\begin{array}{l}x+2y+z+D=0\\x=0\\y=0\end{array}\right.$

$C=(0,0,-D)$

Ahora que ya tenemos los 3 puntos del triángulo, se calcula el área S que forman.

$\displaystyle \boxed{S=\frac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}2}$

$\overrightarrow{AB}=(0,-D/2,0)-(-D,0,0)=(D,-D/2,0)\\\\\overrightarrow{AC}=(0,0,-D)-(-D,0,0)=(D,0,-D)$

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\D&-D/2&0\\D&0&-D\end{vmatrix}=(D^2/2)\vec\imath+(D^2/2)\vec k+D^2\vec\jmath=(D^2/2,D^2,D^2/2)$

$\displaystyle S=\frac{\sqrt{(D^2/2)^2+(D^2)^2+(D^2/2)^2}}2=\frac{\sqrt{D^4/4+D^4+D^4/4}}2=\\\\=\frac{D^2\sqrt{1/4+1+1/4}}2=\frac{D^2\sqrt 6/2}2=\frac{D^2\sqrt 6}4$