Problema 69

De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12800 m² dividido en 3 parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo.

p69

Se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas). Determina las dimensiones del solar y de cada una de las tres parcelas para que la longitud de la valla utilizada sea mínima.


Solución:

Se pretende optimizar la longitud de la valla utilizada. Dicha longitud corresponde al perímetro exterior del rectángulo más la longitud de las dos líneas verticales interiores al rectángulo. Se define la función longitud que se pretende optimizar:

l(x,y)=2x+4y

Es una función de 2 variables. Para eliminar una de las variables utilizamos la restricción área S=12800 m². Como el área S es la de la parcela entera, entonces:

\displaystyle S=x\cdot y\\\\12800=x\cdot y\\\\y=\frac{12800}x

Sustituimos en la función longitud l(x,y):

\displaystyle l(x)=2x+4\frac{12800}x=2x+\frac{51200}x

Derivamos esta función, igualamos a 0 y resolvemos:

\displaystyle l'(x)=2-\frac{51200}{x^2}\\\\2-\frac{51200}{x^2}=0\\\\2=\frac{51200}{x^2}\\\\2x^2=51200\\\\x^2=25600\\x=\pm 160

Descartamos el resultado negativo porque las longitudes solo pueden ser positivas. Comprobamos si en x=160 hay un mínimo, para ello aplicaremos el test de la derivada segunda:

\displaystyle l''(x)=\frac{51200\cdot 2x}{x^4}

Se comprueba que l''(160)>0 por tanto en x=160, la función longitud tiene un mínimo.

Por último, si x=160 m, entonces \displaystyle y=\frac{12800}{160}=80 m, y cada parcela interior tiene un ancho de 160/3=53.3 m.

Más problemas de optimización.

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