Problema 70

Considera la función $f:~\mathbb R\longrightarrow\mathbb R$ dada por $f(x)=-x^2+mx$ siendo m>0. Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta y=-mx y calcula el valor de m para que el área de dicho recinto sea 36.

Solución:

Para esbozar la gráfica de $f(x)=-x^2+mx$ hay que recordar que esta es una función elemental, concretamente una función cuadrática $(f(x)=ax^2+bx+c)$ cuya gráfica es una parábola. Es una parábola cóncava ya que a<0. También pasa por los puntos (0,0) y (m,0). Tiene su vértice en

$\displaystyle x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{-m}{-2}=\frac m2\\\\y_v=-\left(\frac m2\right)^2+m\frac m2=\frac{m^2}2-\frac{m^2}4=\frac{m^2}4$

Luego, y=-mx es una recta decreciente que corta a la parábola en:

$-x^2+mx=-mx\\\\-x^2+2mx=0\\\\x(-x+2m)=0\longrightarrow x=0\mbox{ y }x=2m$ p70

El área del recinto sombreado S ha de ser 36.

$\displaystyle S=\int_0^{2m}(-x^2+mx)-(-mx)~dx=\int_0^{2m}-x^2+2mx~dx=\\\\=\left[\frac{-x^3}3+\frac{2mx^2}2\right]_0^{2m}=\left[\frac{-x^3+3mx^2}3\right]_0^{2m}=\\\\=\left(\frac{-(2m)^3+3m(2m)^2}3\right)-\left(\frac{-0^3+2m\cdot 0^2}3\right)=\\\\=\frac{-8m^3+12m^3}3=\frac{4m^3}3$