Problema 70

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Selectividad Mat II

Considera la función f:~\mathbb R\longrightarrow\mathbb R dada por f(x)=-x^2+mx siendo m>0. Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta y=-mx y calcula el valor de m para que el área de dicho recinto sea 36.

Solución:

Para esbozar la gráfica de f(x)=-x^2+mx hay que recordar que esta es una función elemental, concretamente una función cuadrática (f(x)=ax^2+bx+c) cuya gráfica es una parábola. Es una parábola cóncava ya que a<0. También pasa por los puntos (0,0) y (m,0). Tiene su vértice en

\displaystyle x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{-m}{-2}=\frac m2\\\\y_v=-\left(\frac m2\right)^2+m\frac m2=\frac{m^2}2-\frac{m^2}4=\frac{m^2}4

Luego, y=-mx es una recta decreciente que corta a la parábola en:

-x^2+mx=-mx\\\\-x^2+2mx=0\\\\x(-x+2m)=0\longrightarrow x=0\mbox{ y }x=2mp70

El área del recinto sombreado S ha de ser 36.

\displaystyle S=\int_0^{2m}(-x^2+mx)-(-mx)~dx=\int_0^{2m}-x^2+2mx~dx=\\\\=\left[\frac{-x^3}3+\frac{2mx^2}2\right]_0^{2m}=\left[\frac{-x^3+3mx^2}3\right]_0^{2m}=\\\\=\left(\frac{-(2m)^3+3m(2m)^2}3\right)-\left(\frac{-0^3+2m\cdot 0^2}3\right)=\\\\=\frac{-8m^3+12m^3}3=\frac{4m^3}3

Igualamos a 36 y resolvemos:

\displaystyle \frac{4m^3}3=36\\\\4m^3=108\\\\m^3=27\\\\m=\sqrt[3]27=3

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