Problema 71

De los datos recabados en un informe sobre los beneficios obtenidos por las empresas A, B y C el pasado año, se desprende lo siguiente:

  • la empresa B obtiene el mismo beneficio que las empresas A y C juntas.
  • el beneficio de la empresa A es la media aritmética del de las otras dos.

a) Determina si se puede hallar el beneficio de cada empresa sabiendo que A ha obtenido el doble que C.

b) Calcula el beneficio de cada empresa sabiendo que entre las tres han obtenido 210 millones de euros.


Solución:

Llamemos x, y y z a los beneficios respectivos de las empresas A, B y C medidos en millones de euros. A partir de los datos aportados se obtienen las siguientes ecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}y=x+z\\\displaystyle x=\frac{y+z}2\end{array}\right.

a) Que el beneficio de A ha sido el doble que el de C se traduce en otra ecuación que unida a las dos anteriores resulta en el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{l}y=x+z\\\displaystyle x=\frac{y+z}2\\x=2z\end{array}\right.\qquad\longrightarrow\qquad\left\{\begin{array}{l}-x+y-z=0\\2x-y-z=0\\x-2z=0\end{array}\right.

Se observa que este sistema es homogéneo lo cual quiere decir que el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada y, por tanto, el sistema será compatible.

Se calcula el rango de la matriz de coeficientes:

\begin{vmatrix}-1&1&-1\\2&-1&-1\\1&0&-2\end{vmatrix}=-2-1-1+4=0

\begin{vmatrix}-1&1\\2&-1\end{vmatrix}1-2=-1

Por tanto, el rg(A)=2=rg(A*). Este sistema tiene infinitas soluciones pues el sistema es compatible indeterminado según establece el teorema de Rouché-Fröbenius. Además, se ha demostrado que la tercera ecuación es combinación lineal de las otras dos.


b) Las tres empresas suman un total de 210 millones de euros, lo cual nos da una tercera ecuación a las dos originales:

\left\{\begin{array}{l}-x+y-z=0\\2x-y-z=0\\x+y+z=210\end{array}\right.

Se calcula el rango de la matriz de coeficientes:

\begin{vmatrix}-1&1&-1\\2&-1&-1\\1&1&1\end{vmatrix}=1-1-2-1-2-1=-6

Por tanto, el rg(A)=3=rg(A*)=n ya que la matriz ampliada es una matriz 3×4. El sistema es compatible determinado.

Para resolver este sistema utilizaremos la regla de Cramer.

\displaystyle x=\frac{\begin{vmatrix}0&1&-1\\0&-1&-1\\210&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}-1&1&-1\\2&-1&-1\\1&1&1\end{vmatrix}}=\frac{-210-210}{-6}=70

\displaystyle y=\frac{\begin{vmatrix}-1&0&-1\\2&0&-1\\1&210&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}-1&1&-1\\2&-1&-1\\1&1&1\end{vmatrix}}=\frac{-420-210}{-6}=105

\displaystyle z=\frac{\begin{vmatrix}-1&1&0\\2&-1&0\\1&1&210\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}-1&1&-1\\2&-1&-1\\1&1&1\end{vmatrix}}=\frac{210-420}{-6}=35

Todos estos resultados están en millones de euros.

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