Problema 72

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Sea r la recta que pasa por los puntos A(1,1,0) y B(3,-1,1) y s la recta dada por

\left\{\begin{aligned}x+2y&=&-1\\y+z&=&-1\end{aligned}\right.

a) Halla la ecuación general del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo a las rectas dadas.

b) Halla unas ecuaciones paramétricas del plano que pasa por B y es perpendicular a s.

Solución:

a) Por ser paralelo a las dos rectas dadas, los dos vectores directores del plano π serán los vectores directores de r y s.

\vec v_r=\overrightarrow{AB}=(3,-1,1)-(1,1,0)=(2,-2,1)

\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&2&0\\0&1&1\end{vmatrix}=2\vec\imath+\vec k-\vec\jmath=(2,-1,1)

Dados los vectores directores del plano y sabiendo que pasa por el origen de coordenadas, ya se puede calcular la ecuación implícita del plano:

\begin{vmatrix}x&y&z\\2&-2&1\\2&-1&1\end{vmatrix}=-2x+2y-2z+4z-2y+x=-x+2z

Luego, \pi:~-x+2z=0

b) Por ser perpendicular a s, nuestro plano α tendrá un vector normal proporcional al vector director a la recta s: \vec n_\alpha=\vec v_s=(2,-1,1). Luego la ecuación implícita de α es:

2x-y+z+D=0

Para calcular D imponemos que α pase por el punto B:

2\cdot 3-(-1)+1+D=0\\\\6+2+D=0\\\\D=-8

Luego el plano α es:

\alpha:~2x-y+z-8=0

ecuación que se convierte en paramétricas haciendo el cambio x=λ, y=μ.

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=\mu\\z=8-2\lambda+\mu\end{array}\right.

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