Problema 73

Se quiere construir un bote de conservas cilíndrico, con tapa, de un litro de capacidad. Calcula las dimensiones del bote para que en su construcción se utilice la menor cantidad posible de hojalata.


Solución:

Minimizar la cantidad de hojalata es equivalente a minimizar la superficie del cilindro.

La superficie de un cilindro es: S(r,h)=2\pi r^2+2\pi rh. Esta es la función que hay que optimizar. Para optimizar dicha función hay que derivarla, pero no podemos derivarla porque es una función de dos variables. Hemos de reducir una de las variables utilizando para ello el dato del volumen del cilindro de 1 litro:

p73

V=1=\pi r^2h

de donde

\displaystyle h=\frac{1}{\pi r^2}\qquad(1)

Sustituyendo en la función superficie:

\displaystyle S(r)=2\pi r^2+2\pi r~\frac{1}{\pi r^2}=2\pi r^2+\frac 2r

Calculamos los puntos críticos derivando la función superficie, igualando a 0 y resolviendo (recordar la tabla de derivadas):

\displaystyle S'(r)=4\pi r-\frac{2}{r^2}=0\\\\4\pi r=\frac{2}{r^2}\\\\4\pi r^3=2\\\\r^3=\frac{1}{2\pi}\\\\\boxed{r=\sqrt[3]{\frac{1}{2\pi}}\approx0.542\mbox{ dm}}

El radio del cilindro se mide en decímetros ya que el volumen fue dado en litros. Recordamos que 1 litro equivale a 1 decímetro cúbico: 1 l=1 dm³.

Se comprueba si esta solución corresponde a un mínimo utilizando el test de la derivada segunda:

\displaystyle S''(r)=4\pi-\frac{-2\cdot 2r}{r^4}=4\pi+\frac{4}{r^3}

Esta derivada es siempre positiva ya que r>0, en particular para el valor de r obtenido anteriormente. Por tanto, se trata de un mínimo para la superficie del bote.

Queda solo calcular la altura del bote sustituyendo en (1):

\displaystyle h=\frac{1}{\pi \sqrt[3]{\frac{1}{2\pi}}^2}=\frac{\sqrt[3]{4\pi^2}}\pi=\sqrt[3]{\frac{4\pi^2}{\pi^3}}~;\\\\\boxed{h=\sqrt[3]{\frac{4}{\pi}}\approx1.08\mbox{ dm}}

Más problemas de optimización.

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