Problema 74

Calcula \displaystyle \int\frac{\sqrt{2x+1}}{2x+1+\sqrt{2x+1}}~dx         (sugerencia: t=\sqrt{2x+1}).


Solución:

Se utiliza en primer lugar el cambio de variable:

\displaystyle t=\sqrt{2x+1}\\\\t^2=2x+1\\\\2x=t^2-1\\\\x=\frac{t^2-1}2\rightarrow dx=\frac{2t}2~dt=t~dt

Sustituimos en la integral:

\displaystyle \int\frac{\sqrt{2x+1}}{2x+1+\sqrt{2x+1}}~dx=\int\frac{t}{t^2+t}~t~dt=\int\frac{t}{t+1}~dt

Esta integral es racional. Como el grado del numerador es mayor o igual al grado del denominador, se comienza por descomponer la fracción en cociente y resto:

\displaystyle\int\frac{t}{t+1}~dt=\int 1~dt-\int\frac{1}{t+1}~dt=t-\ln |t+1|=\\\\=\sqrt{2x+1}-\ln|\sqrt{2x+1}+1|+k

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