Problema 75

Considera la matriz A=\begin{pmatrix}k&1+k\\1-k&0\end{pmatrix}. Determina, si existen, los valores de k en cada uno de los casos siguientes:

a) rg(A)=1

b) A²=A

c) A tiene inversa

d) |A|=-2


Solución:

a) Para que el rango de A sea 1, el determinante de la matriz de orden 2 ha de ser 0:

\begin{vmatrix}k&1+k\\1-k&0\end{vmatrix}=-(1+k)(1-k)=-(1-k^2)=k^2-1

Igualamos a 0 y resolvemos:

k^2-1=0\\\\k^2=1\\\\k=\pm1


b) Calculamos A²:

A^2=\begin{pmatrix}k&1+k\\1-k&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}k&1+k\\1-k&0\end{pmatrix}=\\\\=\begin{pmatrix}k^2+(1+k)(1-k)&k(1+k)\\(1-k)k&(1-k)(1+k)\end{pmatrix}=\\\\=\begin{pmatrix}1&k+k^2\\k-k^2&1-k^2\end{pmatrix}

Se iguala a A:

\begin{pmatrix}1&k+k^2\\k-k^2&1-k^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k&1+k\\1-k&0\end{pmatrix}

De esta ecuación matricial se obtiene el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{l}1=k\\k+k^2=1+k\\k-k^2=1-k\\1-k^2=0\end{array}\right.

De la primera ecuación se deduce una única solución: k=1, y dicha solución verifica las otras 3 ecuaciones, por tanto, k=1 es la solución al problema.


c) Para que A tenga inversa su determinante ha de ser distinto de 0. En el apartado a) determinamos los valores que hacían 0 al determinante de A, que eran k=±1, por tanto, para que A tenga inversa k≠1 y k≠-1.


d) En el apartado a) calculamos |A|=k^2-1. Se pide que dicho determinante sea 2.

k^2-1=2\\\\k^2=3\\\\k=\pm\sqrt3

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