Considera la matriz . Determina, si existen, los valores de k en cada uno de los casos siguientes:
a) rg(A)=1
b) A²=A
c) A tiene inversa
d) |A|=-2
Solución:
a) Para que el rango de A sea 1, el determinante de la matriz de orden 2 ha de ser 0:
Igualamos a 0 y resolvemos:
b) Calculamos A²:
Se iguala a A:
De esta ecuación matricial se obtiene el siguiente sistema:
De la primera ecuación se deduce una única solución: k=1, y dicha solución verifica las otras 3 ecuaciones, por tanto, k=1 es la solución al problema.
c) Para que A tenga inversa su determinante ha de ser distinto de 0. En el apartado a) determinamos los valores que hacían 0 al determinante de A, que eran k=±1, por tanto, para que A tenga inversa k≠1 y k≠-1.
d) En el apartado a) calculamos . Se pide que dicho determinante sea 2.
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