Problema 76

Determina el punto de la recta \displaystyle r\equiv\frac{x-1}2=y+1=\frac z3 que equidista de los planos:

\pi\equiv x+y+z+3=0\qquad\pi'\equiv\left\{\begin{array}{l}x=-3+\lambda\\y=-\lambda+\mu\\z=-6-\mu\end{array}\right.


Solución:

La recta r en paramétricas es

\left\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda\\y=-1+\lambda\\z=3\lambda\end{array}\right.

Entonces, un punto Q cualquiera de r tiene las siguientes coordenadas:

Q=(1+2\lambda,-1+\lambda,3\lambda)

Se pide hallar el punto Q de la recta que equidista de los planos π y π´. Se calcula la distancia del punto Q a ambos planos:

\displaystyle d(Q,\pi)=\frac{|1+2\lambda-1+\lambda+3\lambda+3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{|6\lambda+3|}{\sqrt3}

Para obtener la distancia a π´ primero escribimos dicho plano en forma general:

\begin{vmatrix}x+3&y&z+6\\1&-1&0\\0&1&-1\end{vmatrix}=x+3+z+6+y=x+y+z+9=0

\displaystyle d(Q,\pi')=\frac{|1+2\lambda-1+\lambda+3\lambda+9|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{|6\lambda+9|}{\sqrt3}

Igualamos ambas distancias y resolvemos:

\displaystyle \frac{|6\lambda+3|}{\sqrt3}=\frac{|6\lambda+9|}{\sqrt3}\\\\|6\lambda+3|=|6\lambda+9|\\\\\bullet~6\lambda+3=6\lambda+9\longrightarrow\nexists\lambda\\\\\bullet~6\lambda+3=-6\lambda-9\longrightarrow\lambda=1

El punto Q buscado es: Q=(3,0,3).

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