Problema 77

Sea f:~\mathbb R\longrightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=|x^2-4|.

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x=-1.


Solución:

a) La función f(x)=|x^2-4| es una función en valor absoluto. En primer lugar la convertimos en una función a trozos:

f(x)=|x^2-4|=\left\{\begin{array}{ccc}x^2-4&\mbox{si}&x^2-4\geq0\\-x^2+4&\mbox{si}&x^2-4=0\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{ccc}x^2-4&\mbox{si}&x\leq-2\\-x^2+4&\mbox{si}&-2<x<2\\x^2-4&\mbox{si}&x\geq-2\end{array}\right.

ya que x²-4≥0 en x∈(-∞,-2]∪[2,+∞) y negativo en x∈(-2,2).

Para estudiar la monotonía necesitamos calcular la función derivada:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2x&\mbox{si}&x<-2\\-2x&\mbox{si}&-2<x<2\\2x&\mbox{si}&x>2\end{array}\right.

Para calcular los puntos críticos igualamos la derivada a 0 y resolvemos:

2x=0\longrightarrow x=0 no válido para los intervalos en que se define esta derivada.

-2x=0\longrightarrow x=0 sí es válido porque -2<0<2.

Con esto ya podemos estudiar la monotonía de la función.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &(-\infty,-2)&(-2,0)&(0,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&-&+\\\hline \mbox{Monotonia f(x)}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Crece: (-2,0)∪(2,+∞)

Decrece: (-∞,-2)∪(0,2)

Por la monotonía se observa que para x=0 existe un máximo local en el punto (0,4), y mínimos en los puntos (-2,0) y (2,0).


b) La ecuación de las rectas tangente y normal son:

\displaystyle\boxed{\mbox{rt}:~y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}\\\\\boxed{\mbox{rn}:~y-f(x_0)=\frac{-1}{f'(x_0)}(x-x_0)}

Sabemos que x_0=1, ahora calculamos f(x_0)\mbox{ y }f'(x_0).

f(1)=-1^2+4=3\\\\f'(1)=-2\cdot 1=-2

  • Recta tangente

y-3=-2(x-1)\\\\y-3=-2x+2\\\\y=-2x+5

  • Recta normal

\displaystyle y-3=\frac{-1}{-2}(x-1)\\\\y-3=\frac x2-\frac 12\\\\y=\frac x2+\frac 52

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