Problema 78

Determina la función f:~\mathbb R\longrightarrow\mathbb R tal que

f''(x)=-2\,\mbox{sen}(2x), f(0)=1 y f(\pi/2)=0.


Solución:

Para obtener la función f habrá que integrar dos veces f´´(x).

\displaystyle f'(x)=\int -2\,\mbox{sen}(2x)~dx=-\int 2\,\mbox{sen}(2x)~dx=\cos(2x)+k_1

\displaystyle f(x)=\int \cos(2x)+k_1~dx=\frac 12\int 2\cos(2x)+2k_1~dx=\\\\=\frac 12[\mbox{sen}(2x)+2k_1x]+k_2=\frac{\mbox{sen}(2x)}2+k_1x+k_2

Para calcular las constantes de integración utilizamos los datos aportados:

\displaystyle f(0)=\frac{\mbox{sen}(2\cdot 0)}2+k_1\cdot 0+k_2=k_2=1

Ya sabemos que k_2=1.

\displaystyle f(\pi/2)=\frac{\mbox{sen}(2\cdot \pi/2)}2+k_1\cdot\pi/2+1=\frac{\pi k_1}2+1=0

Resolvemos esta ecuación:

\displaystyle \frac{\pi k_1}2+1=0\\\\\frac{\pi k_1}2=-1\\\\\pi k_1=-2\\\\k_1=\frac{-2}\pi

Por tanto, la función buscada es:

\displaystyle f(x)=\frac{\mbox{sen}(2x)}2+\frac{-2x}\pi+1

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