Problema 79

Considera la matriz A=\begin{pmatrix}1&0&\lambda+1\\\lambda&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}.

a) Determina, si existe, los valores de λ para los que A⁻¹=2IA (siendo I la matriz identidad de orden 3).

b) Determina, si existen, los valores de λ para los que la matriz A+A^t no tiene inversa (A^t es la matriz traspuesta de A).


Solución:

a) Si 2IA=A⁻¹, entonces se debe cumplir que

(2I-A)A=I\\\\2A-A^2=I\\\\A^2-2A+I=\overline 0\\\\(A-I)^2=\overline 0

donde \overline 0 es la matriz nula de orden 3. Calculamos los elementos de esta última ecuación y resolvemos:

A-I=\begin{pmatrix}1&0&\lambda+1\\\lambda&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&\lambda+1\\\lambda&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}

(A-I)^2=\begin{pmatrix}0&0&\lambda+1\\\lambda&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&0&\lambda+1\\\lambda&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&\lambda(\lambda+1)\\0&0&0\end{pmatrix}

(A-I)^2=\overline 0\longrightarrow\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&\lambda(\lambda+1)\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

de donde ha de ser λ(λ+1)=0, ecuación cuyas soluciones son: λ=0 y λ=-1.


b) Comenzamos calculando A+A^t

A+A^t=\begin{pmatrix}1&0&\lambda+1\\\lambda&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&\lambda&0\\0&1&0\\\lambda+1&-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&\lambda&\lambda+1\\\lambda&2&-1\\\lambda+1&-1&2\end{pmatrix}

Para que una matriz no tenga inversa basta con que el determinante de dicha matriz sea 0. Calculamos el determinante de esta matriz:

\begin{vmatrix}2&\lambda&\lambda+1\\\lambda&2&-1\\\lambda+1&-1&2\end{vmatrix}=8-\lambda(\lambda+1)-(\lambda+1)\lambda-2(\lambda+1)^2-2\lambda^2-2=\\\\=8-\lambda^2-\lambda-\lambda^2-\lambda-2\lambda^2-4\lambda-2-2\lambda^2-2=\\\\=-6\lambda^2-6\lambda+4

Igualamos a 0 y resolvemos:

-6\lambda^2-6\lambda+4=0\\\\-2(3\lambda^2+3\lambda-2)=0

cuyas soluciones son \displaystyle \lambda_1=\frac{-3+\sqrt{33}}6\mbox{ y }\lambda_2=\frac{-3-\sqrt{33}}6

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