Problema 79

Considera la matriz $A=\begin{pmatrix}1&0&\lambda+1\\\lambda&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}.$

a) Determina, si existe, los valores de λ para los que A⁻¹=2I–A (siendo I la matriz identidad de orden 3).

b) Determina, si existen, los valores de λ para los que la matriz $A+A^t$ no tiene inversa ( $A^t$ es la matriz traspuesta de A).

Solución:

a) Si 2I–A=A⁻¹, entonces se debe cumplir que

$(2I-A)A=I\\\\2A-A^2=I\\\\A^2-2A+I=\overline 0\\\\(A-I)^2=\overline 0$

donde $\overline 0$ es la matriz nula de orden 3. Calculamos los elementos de esta última ecuación y resolvemos:

$A-I=\begin{pmatrix}1&0&\lambda+1\\\lambda&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&\lambda+1\\\lambda&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}$

$(A-I)^2=\begin{pmatrix}0&0&\lambda+1\\\lambda&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&0&\lambda+1\\\lambda&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&\lambda(\lambda+1)\\0&0&0\end{pmatrix}$

$(A-I)^2=\overline 0\longrightarrow\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&\lambda(\lambda+1)\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$

de donde ha de ser λ(λ+1)=0, ecuación cuyas soluciones son: λ=0 y λ=-1.

b) Comenzamos calculando $A+A^t$

$A+A^t=\begin{pmatrix}1&0&\lambda+1\\\lambda&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&\lambda&0\\0&1&0\\\lambda+1&-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&\lambda&\lambda+1\\\lambda&2&-1\\\lambda+1&-1&2\end{pmatrix}$

Para que una matriz no tenga inversa basta con que el determinante de dicha matriz sea 0. Calculamos el determinante de esta matriz:

$\begin{vmatrix}2&\lambda&\lambda+1\\\lambda&2&-1\\\lambda+1&-1&2\end{vmatrix}=8-\lambda(\lambda+1)-(\lambda+1)\lambda-2(\lambda+1)^2-2\lambda^2-2=\\\\=8-\lambda^2-\lambda-\lambda^2-\lambda-2\lambda^2-4\lambda-2-2\lambda^2-2=\\\\=-6\lambda^2-6\lambda+4$