Problema 80

Considera el plano π de ecuación 6x-my+2z=1 y la recta r dada por

\displaystyle\frac{x-1}{-3}=\frac{y+1}2=\frac{z+2}{-1}

a) Calcula m en el caso en que la recta r es perpendicular al plano π.

b) ¿Existe algún valor de m para el que la recta r esté contenida en el plano π?


Solución:

a) Para que una recta sea perpendicular a un plano, el vector director de la recta deberá se paralelo al vector normal del plano, es decir:

\boxed{r\bot\pi\iff\vec v_r\|\vec n_\pi}

Como \vec v_r=(-3,2,-1) y \vec n_\pi=(6,-m,2), para que ambos sean paralelos ha de ser

\displaystyle \frac{-3}6=\frac 2{-m}=\frac{-1}2

Se comprueba fácilmente que m=4.


b) Para que una recta esté contenida en un plano ha de cumplirse varias cosas. Una de ellas es que el vector director de la recta sea perpendicular al vector normal del plano:

\boxed{r\subset\pi\Longrightarrow\vec v_r\bot\vec n_\pi}

Como ha de ser \vec v_r\bot\vec n_\pi entonces \vec v_r\cdot\vec n_\pi=0.

\vec v_r\cdot\vec n_\pi=(-3,2,-1)\cdot(6,-m,2)=-18-2m-2=-2m-20=0

Ecuación esta última cuya solución es m=-10. Pero esto no es suficiente. Si para ese valor de m la recta está contenida en el plano, cualquier punto de la recta está contenida en el plano, por ejemplo el punto P_r=(1,-1,-2).

6\cdot 1+10\cdot (-1)+2\cdot (-2)=1\\\\6-10-4=1\\\\-8=1~!!!!

Este resultado quiere decir que el punto de r no pertenece al plano y por tanto, la recta no está contenida en el plano para ningún valor de m.

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