Problema 81

Sea la función f:~(0,+\infty)\rightarrow\mathbb R definida por \displaystyle f(x)=\frac{\ln(x)}x, donde ln denota logaritmo neperiano.

a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

b) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.


Solución:

a) Para estudiar las asíntotas verticales tenemos en cuenta los puntos donde la función deja de estar definida, en nuestro caso en x=0.

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\ln(x)}x=\frac{-\infty}{0^+}=-\infty

Por tanto, sí existe asíntota vertical y su ecuación es x=0.

Asíntota horizontal:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln(x)}x=\frac{\infty}{\infty}IND

indeterminación que se resuelve utilizando la regla de L’Hopital:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln(x)}x\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1/x}1=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac 1x=\frac 1{+\infty}=0^+

por lo que también posee asíntota horizontal y su ecuación es y=0.

No posee asíntota oblicua.


b) Para estudiar la monotonía de una función se comienza calculando sus puntos críticos que son los que hacen 0 su derivada:

\displaystyle f'(x)=\frac{1/x\cdot x-\ln(x)}{x^2}=\frac{1-\ln(x)}{x^2}

Igualamos a 0 la derivada y resolvemos:

\displaystyle \frac{1-\ln(x)}{x^2}=0\\\\1-\ln(x)=0\\\\\ln(x)=1\\\\x=e

Con los puntos críticos y tendiendo en cuenta el dominio, definimos los intervalos y estudiamos la monotonia:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline &(0,e)&(e,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monotonia f(x)}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • Crece: (0,e)
  • Decrece: (e,+∞)

Por la monotonía se deduce que en x=e existe un máximo absoluto cuya ordenada es:

\displaystyle y=f(e)=\frac{\ln e}e=\frac 1e

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