Sea la función definida por
, donde ln denota logaritmo neperiano.
a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.
b) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.
Solución:
a) Para estudiar las asíntotas verticales tenemos en cuenta los puntos donde la función deja de estar definida, en nuestro caso en x=0.
Por tanto, sí existe asíntota vertical y su ecuación es x=0.
Asíntota horizontal:
indeterminación que se resuelve utilizando la regla de L’Hopital:
por lo que también posee asíntota horizontal y su ecuación es y=0.
No posee asíntota oblicua.
b) Para estudiar la monotonía de una función se comienza calculando sus puntos críticos que son los que hacen 0 su derivada:
Igualamos a 0 la derivada y resolvemos:
Con los puntos críticos y tendiendo en cuenta el dominio, definimos los intervalos y estudiamos la monotonia:
- Crece: (0,e)
- Decrece: (e,+∞)
Por la monotonía se deduce que en x=e existe un máximo absoluto cuya ordenada es:
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