Problema 82

De la función $f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ definida por $f(x)=ae^x-bx$ , donde $a,~b\in\mathbb R$ se sabe que su gráfica tiene tangente horizontal en x=0 y que $\displaystyle\int_0^1f(x)~dx=e-\frac 32$ . Halla los valores de a y b.

Solución:

Dice que la gráfica de la función $f(x)=ae^x-bx$ tiene tangente horizontal en x=0, lo cual quiere decir que $f'(0)=0$ ya que la derivada de la función en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto, y la pendiente de una recta horizontal es 0.

$f'(x)=ae^x-b\\\\f'(0)=a-b=0$

Tenemos así una ecuación con 2 incógnitas. La segunda ecuación es la dad por el dato de la integral:

$\displaystyle\int_0^1ae^x-bx~dx=\left[ae^x-\frac{bx^2}2\right]_0^1=\left(ae-\frac a2\right)-a=\\\\=ae-\frac{3a}2=a\left(e-\frac 32\right)=e-\frac 32$

por tanto a=1. Siendo ese el valor de a, de la primera ecuación se obtiene que b=1.

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Exámenes resueltos de Selectividad, EVAU, EBAU

Problema 82

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