Problema 82

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Selectividad Mat II

De la función f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R definida por f(x)=ae^x-bx, donde a,~b\in\mathbb R se sabe que su gráfica tiene tangente horizontal en x=0 y que \displaystyle\int_0^1f(x)~dx=e-\frac 32. Halla los valores de a y b.

Solución:

Dice que la gráfica de la función f(x)=ae^x-bx tiene tangente horizontal en x=0, lo cual quiere decir que f'(0)=0 ya que la derivada de la función en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto, y la pendiente de una recta horizontal es 0.

f'(x)=ae^x-b\\\\f'(0)=a-b=0

Tenemos así una ecuación con 2 incógnitas. La segunda ecuación es la dad por el dato de la integral:

\displaystyle\int_0^1ae^x-bx~dx=\left[ae^x-\frac{bx^2}2\right]_0^1=\left(ae-\frac a2\right)-a=\\\\=ae-\frac{3a}2=a\left(e-\frac 32\right)=e-\frac 32

por tanto a=1. Siendo ese el valor de a, de la primera ecuación se obtiene que b=1.

♦

Deja un comentario