Problema 83

Sea la matriz A=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&1&-1\\0&2&4\end{pmatrix}

a) Estudia, según los valores de λ, el rango de la matriz AI, siendo I la matriz identidad de orden tres.

b) Resuelve el sistema dado por (A-2I)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}


Solución:

a) Primero calculamos la matriz AI:

A-\lambda I=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&1&-1\\0&2&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&\lambda\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-\lambda&1&0\\0&1-\lambda&-1\\0&2&4-\lambda\end{pmatrix}

Veamos bajo qué condiciones el rango de esta matriz es 3:

\begin{vmatrix}2-\lambda&1&0\\0&1-\lambda&-1\\0&2&4-\lambda\end{vmatrix}=(2-\lambda)(1-\lambda)(4-\lambda)+2(2-\lambda)=\\\\=(2-2\lambda-\lambda+\lambda^2)(4-\lambda)+4-2\lambda=\\\\=(2-3\lambda+\lambda^2)(4-\lambda)+4-2\lambda=\\\\=8-2\lambda-12\lambda+3\lambda^2+4\lambda^2-\lambda^3+4-2\lambda=\\\\=-\lambda^3+7\lambda^2-16\lambda+12

Utilizando el método de Ruffini podemos calcular las raíces de este determinante que son λ=2 y λ=3.

  • Caso λ≠2 y λ≠3. En este caso el determinante anterior es distinto de 0 y, por tanto, el rango de la matriz AI es 3.
  • Caso λ=2. En este caso

A-2I=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&-1&-1\\0&2&2\end{pmatrix}

cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\-1&-1\end{vmatrix}\neq0.

  • Caso λ=3. En este caso

A-3I=\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&-2&-1\\0&2&1\end{pmatrix}

cuyo rango también es 2 ya que encontramos una submatriz de orden 2 cuyo determinante es distinto de 0:

\begin{vmatrix}-1&1\\0&-2\end{vmatrix}\neq0


b) Sabemos del apartado anterior que para el caso λ=2 el rango de A-2I es 2. También sabemos que el sistema a resolver es homogéneo, por tanto el sistema es compatible indeterminado. El sistema a resolver sería:

\left\{\begin{aligned}y&=&0\\-y-z&=&0\end{aligned}\right.

Haciendo el cambio x=μ, se obtiene las infinitas soluciones de este sistema:

\left\{\begin{array}{l}x=\mu\\y=0\\z=0\end{array}\right.

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