Problema 84

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Sea r la recta dada por \left\{\begin{aligned}x+z&=&1\\y&=&-1\end{aligned}\right.        y sea s la recta definida por \left\{\begin{array}{l}x=2+\lambda\\y=2\\z=2+2\lambda\end{array}\right.

a) Comprueba que las rectas r y s se cruzan y halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s.

b) Calcula la distancia entre r y s.

Solución:

a1) Primero calcularemos un punto y el vector director de cada recta. En el caso de la recta r, primeros la escribiremos en forma paramétrica haciendo el cambio z=μ.

\left\{\begin{array}{l}x=1-\mu\\y=-1\\z=\mu\end{array}\right.

de esta manera es fácil calcular un punto de r y su vector director: P_r=(1,-1,0) y \vec v_r=(-1,0,1).

En el caso de la recta s, P_s=(2,2,2) y \vec v_s=(1,0,2).

Calculamos en primer lugar el rango de \begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&0&2\end{pmatrix}

\begin{vmatrix}-1&1\\1&2\end{vmatrix}\neq0

Dicho rango es 2, por lo que ambas rectas o se cortan o se cruzan. Para distinguir ambos casos, calculamos el rango de la matriz \begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}

donde \overrightarrow{P_rP_s}=(2,2,2)-(1,-1,0)=(1,3,2)

\begin{vmatrix}-1&0&1\\1&0&2\\1&3&2\end{vmatrix}=3+6\neq0

Por tanto, el rango de esta matriz es 3 y las rectas se cruzan.

a2) Nos piden calcular la recta perpendicular común de r y s. Dicha recta, llamémosla t, tendrá por vector director uno perpendicular a \vec v_r y \vec v_s.  La mejor forma de obtener un vector perpendicular a otros 2 es haciendo el producto vectorial de ambos:

\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-1&0&1\\1&0&2\end{vmatrix}=\vec\jmath+2\vec\jmath=(0,3,0)

Tomamos como \vec v_t=(0,1,0) que es proporcional al anterior.

A continuación construimos un plano \pi_r que contenga a r y sea paralela a t:

\begin{vmatrix}x-1&y+1&z\\-1&0&1\\0&1&0\end{vmatrix}=-z-x+1=0

\pi:~x+z-1=0

Ahora construimos un plano \pi_s que contiene a s y es paralelo a t:

\begin{vmatrix}x-2&y-2&z-2\\1&0&2\\0&1&0\end{vmatrix}=z-2-2x+4=0

\pi_s:~2x-z-2=0

Por tanto, la recta t buscada es: \left\{\begin{array}{l}x+z-1=0\\2x-z-2=0\end{array}\right.

b) Para calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan utilizamos la fórmula:

\displaystyle \boxed{d(r,s)=\frac{|[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]|}{|\vec v_r\times\vec v_s|}}

[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]=\begin{vmatrix}-1&0&1\\1&0&2\\1&3&2\end{vmatrix}=3+6=9

\vec v_r\times\vec v_s=(0,3,0)

Luego:

\displaystyle d(r,s)=\frac {|9|}{\sqrt{0^2+3^2+0^2}}=\frac{9}3=3\mbox{ u.l.}

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