Sea r la recta dada por y sea s la recta definida por
a) Comprueba que las rectas r y s se cruzan y halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s.
b) Calcula la distancia entre r y s.
Solución:
a1) Primero calcularemos un punto y el vector director de cada recta. En el caso de la recta r, primeros la escribiremos en forma paramétrica haciendo el cambio z=μ.
de esta manera es fácil calcular un punto de r y su vector director: y
.
En el caso de la recta s, y
.
Calculamos en primer lugar el rango de
Dicho rango es 2, por lo que ambas rectas o se cortan o se cruzan. Para distinguir ambos casos, calculamos el rango de la matriz
donde
Por tanto, el rango de esta matriz es 3 y las rectas se cruzan.
a2) Nos piden calcular la recta perpendicular común de r y s. Dicha recta, llamémosla t, tendrá por vector director uno perpendicular a y
. La mejor forma de obtener un vector perpendicular a otros 2 es haciendo el producto vectorial de ambos:
Tomamos como que es proporcional al anterior.
A continuación construimos un plano que contenga a r y sea paralela a t:
Ahora construimos un plano que contiene a s y es paralelo a t:
Por tanto, la recta t buscada es:
b) Para calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan utilizamos la fórmula:
Luego:
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