Problema 85

Sea f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=x^3+ax^2+bx+c. Determina a, b, c sabiendo que la gráfica de f tiene tangente horizontal en el punto de abscisa x=1 y un punto de inflexión en (-1,5).


Solución:

Que la gráfica tenga tangente horizontal en x=1 significa que f'(1)=0.

Que la gráfica tenga un punto de inflexión en el punto (-1,5) significa que:

\left\{\begin{array}{l}f(-1)=5\\f''(-1)=0\end{array}\right.

Tenemos así un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

f(x)=x^3+ax^2+bx+c\longrightarrow f(-1)=-1+a-b+c=5\\\\f'(x)=3x^2+2ax+b\longrightarrow f'(1)=3+2a+b=0\\\\f''(x)=6x+2a\longrightarrow f''(-1)=-6+2a=0

De la tercera ecuación obtenemos a=3. De la segunda b=-9. Y de la primera, por último, c=-6.

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