Problema 86

Considera la función f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R definida por \displaystyle f(x)=\frac{3x(2m-x)}{m^3}, con m>0. Calcula el área del recinto encerrado por la gráfica de f  y el eje OX.


Solución:

Escribimos esta función de otra forma

\displaystyle f(x)=\frac{3x(2m-x)}{m^3}=\frac{-3x^2+6mx}{m^3}

De esta forma vemos que esta es una función cuadrática y su gráfica será una parábola cóncava. Calculamos los puntos donde esta parábola corta al eje X:

\displaystyle 0=\frac{-3x^2+6mx}{m^3}\\\\-3x^2+6mx=0\\\\-3x(x-2m)=0

ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=2m, por tanto, el área es:

\displaystyle \int_0^{2m}\frac{-3x^2+6mx}{m^3}~dx=\frac 1{m^3}\int_0^{2m}-3x^2+6mx~dx=\\\\=\frac 1{m^3}\left[-x^3+3mx^2\right]_0^{2m}=\frac 1{m^3}\left[\left(-(2m)^3+3m(2m)^2\right)-(0)\right]=\\\\=\frac 1{m^3}(-8m^3+12m^3)=4\mbox{ u.a.}

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