Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales
a) Discútelo según los valores de λ.
b) Resuélvelo para λ=0.
c) Determina, si existe, el valor de λ para el que hay una solución en la que z=2. Calcula esa solución.
Solución:
a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius. La matriz de coeficientes y la matriz ampliada son:
Calculamos el rango de la matriz de coeficientes:
Las raíces de este determinantes son λ=0 y λ=1.
- Caso λ≠0 y λ≠1. En este caso rg(M)=3=rg(M*)=n, por tanto, el sistema es compatible determinado.
- Caso λ=0. En este caso rg(M)=2 ya que
. Calculamos el rango de la matriz ampliada.
Por tanto, rg(M*)=2=rg(M)<n y el sistema es compatible indeterminado.
- Caso λ=1. En este caso rg(M)=2 ya que
. Calculamos ahora el rango de la matriz ampliada:
Por tanto, el rg(M*)=3 y el sistema es incompatible.
b) En el caso λ=0 el sistema tenía rango 2 como vimos antes y el sistema a resolver es el siguiente:
Para resolver este sistema utilizamos n-rg(M)=3-2=1 parámetro. Llamando x=μ se obtiene:
c) Hemos de calcular λ para que el sistema tenga una solución cuya z=2. Si dicho valor de λ existe, no será 1 ya que daría lugar a un sistema incompatible, estamos entonces en los casos discutido en el apartado a) que daba lugar a un sistema compatible determinado e indeterminado.
Primero suponemos λ≠0. Al ser un sistema compatible determinado, utilizamos la regla de Cramer para obtener z e imponer que valga 2.
Resolvemos esta última ecuación:
Supongamos ahora que λ=0, en ese caso, el sistema sería
sistema que no permite que z=2.
Luego la única solución es λ=2.
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