Problema 88

Considera un rectángulo de vértices consecutivos A, B, C y D siendo A(1,1,0) y B(2,2,1). Sabiendo que la recta r que contiene a los puntos C y D pasa por el origen de coordenadas, se pide:

a) Halla unas ecuaciones paramétricas de r.

b) Calcula el área del triángulo ABC.

c) Determina las coordenadas del punto D.


Solución:

a) Sabemos que la recta r pasa por C, por D y por el origen de coordenadas O=(0,0,0), es decir, la recta r pasa por el punto O y tiene por vector director uno paralelo al vector \overrightarrow{CD}.p88

El vector \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=(2,2,1)-(1,1,0)=(1,1,1)

Por tanto, la recta r buscada es:

r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.


b) Calculamos en primer lugar el punto C. Dicho punto, por pertenecer a la recta r, tiene coordenadas C=(λ,λ,λ). Además, por ser la figura un rectángulo, se cumple que \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0, por tanto:

\overrightarrow{BC}=(\lambda,\lambda,\lambda)-(2,2,1)=(\lambda-2,\lambda-2,\lambda-1)

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=(1,1,1)\cdot(\lambda-2,\lambda-2,\lambda-1)=\lambda-2+\lambda-2+\lambda-1=3\lambda-5=0

ecuación de la que resulta λ=5/3.

El área S del triángulo ABC es:

\displaystyle \boxed{S=\frac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}|}2}

\displaystyle\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&1&1\\-1/3&-1/3&2/3\end{vmatrix}=\frac 13\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&1&1\\-1&-1&2\end{vmatrix}=\\\\=\frac 13(2\vec\imath-\vec\jmath-\vec k+\vec k-2\vec\jmath+\vec\imath)=\frac 13(3,-3,0)=(1,-1,0)

Y el área es:

\displaystyle S=\frac{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}}2=\frac{\sqrt2}2\mbox{ u.a.}


c) Dado que \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=(1,1,1) como vimos en el apartado a) y que C=(5/3,5/3,5/3) como se ponía de manifiesto en el apartado b), el punto D es:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}\\\\\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{DC}\\\\\overrightarrow{OD}=(5/3,5/3,5/3)-(1,1,1)=(2/3,2/3,2/3)

Y las coordenadas del punto D son (2/3,2/3,2/3).

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