Problema 89

Sea f la función definida por \displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x-1} para x≠1.

a) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f.

b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan) de f.


Solución:

a) El dominio de esta función es \mathbb R\smallsetminus\{1\}. Comenzamos por calcular si existe asíntota vertical.

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{e^x}{x-1}=\frac{e}{0^+}=+\infty\\\\\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{e^x}{x-1}=\frac{e}{0^-}=-\infty

Por tanto, existe asíntota vertical y su ecuación es x=1.

Veamos si existe asíntota horizontal.

\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^x}{x-1}=\frac{+\infty}{+\infty}IND

indeterminación que resolvemos utilizando la regla de L’Hopital

\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^x}{x-1}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^x}1=+\infty\\\\\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{e^x}{x-1}=\frac{0}{-\infty}=0

Tiene por tanto asíntota horizontal con ecuación y=0 cuando x\rightarrow -\infty.

No tiene asíntota oblicua porque \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^x}{x(x-1)}=+\infty resolviendo la indeterminación como antes utilizando la regla de L’Hopital.


b) Para estudiar la monotonía comenzamos por calcular los puntos críticos de la función. Para calcular los puntos críticos derivamos la función, igualamos a 0 y resolvemos:

\displaystyle f'(x)=\frac{e^x(x-1)-e^x}{(x-1)^2}=\frac{e^x(x-2)}{(x-1)^2}\\\\\frac{e^x(x-2)}{(x-1)^2}=0\\\\e^x(x-2)=0

ecuación cuya solución es x=2.

Con este punto crítico y el dominio se construye la siguiente tabla de intervalos donde evaluamos la derivada y concluimos la monotonía de la función:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline &(-\infty,1)&(1,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&-&+\\\hline \mbox{Monotonia f(x)}&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f crece en (2,+∞)
  • f decrece en (∞,1)∪(1,2)

En x=2 existe un mínimo local cuyo valor es \displaystyle f(2)=\frac{e^2}{2-1}=e^2

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