Problema 90

Sea f la función definida por $\displaystyle f(x)=\frac{\ln(x)}{2x}$ para x>0 (ln denota la función logaritmo neperiano) y sea F la primitiva de f tal que F(1)=2.

a) Calcula F´(e).

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F en el punto de abscisa x=e.

Solución:

a) Si F es la primitiva de f, entonces f es la derivada de F. Luego:

$\displaystyle F'(e)=f(e)=\frac{\ln(e)}{2e}=\frac 1{2e}$

b) La ecuación de la recta tangente a una función f en un punto $x=x_0$ es:

$\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}$

En nuestro caso hemos de encontrar la tangente a la función F por lo que debemos encontrar dicha función:

$\displaystyle F(x)=\int\frac{\ln(x)}{2x}~dx=\frac 12\int\ln(x)\cdot\frac 1x~dx=\frac 12\frac{\ln^2x}2+k=\frac{\ln^2x}4+k$

Para calcular k utilizamos el dato F(1)=2

$\displaystyle F(1)=\frac{\ln^21}4+k=k=2$

por tanto $\displaystyle F(x)=\frac{\ln^2x}4+2$ . Podemos calcular ya los elementos necesarios para calcular la recta tangente a F en el punto $x_0=e:$