Problema 90

Sea f la función definida por \displaystyle f(x)=\frac{\ln(x)}{2x} para x>0 (ln denota la función logaritmo neperiano) y sea F la primitiva de f tal que F(1)=2.

a) Calcula F´(e).

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F en el punto de abscisa x=e.


Solución:

a) Si F es la primitiva de f, entonces f es la derivada de F. Luego:

\displaystyle F'(e)=f(e)=\frac{\ln(e)}{2e}=\frac 1{2e}


b) La ecuación de la recta tangente a una función f en un punto x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

En nuestro caso hemos de encontrar la tangente a la función F por lo que debemos encontrar dicha función:

\displaystyle F(x)=\int\frac{\ln(x)}{2x}~dx=\frac 12\int\ln(x)\cdot\frac 1x~dx=\frac 12\frac{\ln^2x}2+k=\frac{\ln^2x}4+k

Para calcular k utilizamos el dato F(1)=2

\displaystyle F(1)=\frac{\ln^21}4+k=k=2

por tanto \displaystyle F(x)=\frac{\ln^2x}4+2. Podemos calcular ya los elementos necesarios para calcular la recta tangente a F en el punto x_0=e:

\displaystyle F(e)=\frac{\ln^2e}4+2=\frac 14+2=\frac 94\\\\F'(e)=\frac 1{2e}

Sustituimos en la ecuación de la recta tangente:

\displaystyle y-\frac 94=\frac 1{2e}(x-e)\\\\y=\frac 1{2e}x-\frac 12+\frac 94\\\\y=\frac 1{2e}x+\frac 74

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