Problema 91

Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{rcl}\alpha x+y+3z&=&4\\x+y-2z&=&-2\\-x+2y+(3+\alpha)z&=&4+\alpha\end{array}\right.

a) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema dado tiene solución única.

b) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema dado tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos.


Solución:

a) Para que el sistema tenga solución única el sistema ha de ser compatible determinado como indica el teorema de Rouché-Fröbenius. Para ello el rango de la matriz de coeficientes ha de ser 3 y su determinante distinto de 0:

\begin{vmatrix}\alpha&1&3\\1&1&-2\\-1&2&3+\alpha\end{vmatrix}=\alpha(3+\alpha)+2+6+3-(3+\alpha)+4\alpha=\\\\=3\alpha+\alpha^2+11-3-\alpha+4\alpha=\alpha^2+6\alpha+8

Igualamos este determinante a 0 y resolvemos:

\alpha^2+6\alpha+8=0

ecuación cuyas soluciones son α=-2 y α=-4. Por tanto, para que el sistema tenga un única solución α≠-2 y α≠-4.


b) Si un sistema de ecuaciones lineales tiene al menos dos soluciones es porque tiene infinitas. Sería el caso de un sistema compatible indeterminado. Según el teorema de R-F, un sistema es compatible indeterminado si el rango de las matrices de coeficientes y ampliada es menor que el número de incógnitas n. Hemos de obligar a que el rango de M sea menor de 3, cosa que se puede conseguir si α=-2 o α=-4. Calculemos el rango de M en estos casos:

  • Caso α=-2. El rango de M es 2 ya que \begin{vmatrix}-2&1\\1&1\end{vmatrix}\neq0. Veamos el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}-2&1&4\\1&1&-2\\-1&2&2\end{vmatrix}=-4+2+8+4-2-8=0

Por tanto el rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado y tiene al menos 2 soluciones.

  • Caso α=-4. De la misma manera que antes el rango de M es 2 ya que \begin{vmatrix}-4&1\\1&1\end{vmatrix}\neq0. Calculamos ahora el rango de la matriz ampliada.

\begin{vmatrix}-4&1&4\\1&1&-2\\-1&2&0\end{vmatrix}=2+8+4-16=-2\neq0

En cuyo caso el sistema es incompatible.

Por tanto, el único caso en el que el sistema tiene al menos 2 soluciones es α=-2. Calculamos la solución del sistema en ese caso. El sistema equivalente en este caso es:

\left\{\begin{array}{rcl}-2x+y+3z&=&4\\x+y-2z&=&-2\end{array}\right.

Para resolverlo hacemos el cambio z=λ:

\left\{\begin{array}{rcl}-2x+y&=&4-3\lambda\\x+y&=&-2+2\lambda\end{array}\right.

Restando la ecuación primera a la segunda resulta la ecuación 3x=-6+5\lambda de donde x=\dfrac{-6+5\lambda}3. Por último

y=-2+2\lambda-\dfrac{-6+5\lambda}3=\dfrac{-6+6\lambda+6-5\lambda}3=\dfrac{\lambda}3

La solución del sistema para α=-2 es:

\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{-6+5\lambda}3\\y=\dfrac{\lambda}3\\z=\lambda\end{array}\right.

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