Considera el siguiente sistema de ecuaciones:
a) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema dado tiene solución única.
b) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema dado tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos.
Solución:
a) Para que el sistema tenga solución única el sistema ha de ser compatible determinado como indica el teorema de Rouché-Fröbenius. Para ello el rango de la matriz de coeficientes ha de ser 3 y su determinante distinto de 0:
Igualamos este determinante a 0 y resolvemos:
ecuación cuyas soluciones son α=-2 y α=-4. Por tanto, para que el sistema tenga un única solución α≠-2 y α≠-4.
b) Si un sistema de ecuaciones lineales tiene al menos dos soluciones es porque tiene infinitas. Sería el caso de un sistema compatible indeterminado. Según el teorema de R-F, un sistema es compatible indeterminado si el rango de las matrices de coeficientes y ampliada es menor que el número de incógnitas n. Hemos de obligar a que el rango de M sea menor de 3, cosa que se puede conseguir si α=-2 o α=-4. Calculemos el rango de M en estos casos:
- Caso α=-2. El rango de M es 2 ya que
. Veamos el rango de la matriz ampliada:
Por tanto el rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado y tiene al menos 2 soluciones.
- Caso α=-4. De la misma manera que antes el rango de M es 2 ya que
. Calculamos ahora el rango de la matriz ampliada.
En cuyo caso el sistema es incompatible.
Por tanto, el único caso en el que el sistema tiene al menos 2 soluciones es α=-2. Calculamos la solución del sistema en ese caso. El sistema equivalente en este caso es:
Para resolverlo hacemos el cambio z=λ:
Restando la ecuación primera a la segunda resulta la ecuación de donde
. Por último
La solución del sistema para α=-2 es:
♦