Problema 92

Halla unas ecuaciones paramétricas para la recta r, que contiene al punto P(3,-5,4) y corta perpendicularmente a la recta \displaystyle s\equiv\frac{x-4}5=\frac{y-8}{-3}=\frac z4.


Solución:

Recta s en paramétricas:

\left\{\begin{array}{l}x=4+5\lambda\\y=8-3\lambda\\z=4\lambda\end{array}\right.

En primer lugar calculamos un plano π perpendicular a s que pase por P. Es decir: \vec n_\pi=\vec v_s=(5,-3,4). Luego:

\pi:~5x-3y+4z+D=0

Este plano pasa por P, por tanto,

5\cdot 3-3\cdot (-5)+4\cdot 4+D=0\\\\15+15+16+D=0\\\\D=-46

y el plano \pi:~5x-3y+4z-46=0.

Calculamos el punto Q donde la recta s corta con el plano π, para ello sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano.

5(4+5\lambda)-3(8-3\lambda)+4\cdot 4\lambda-46=0\\\\20+25\lambda-24+9\lambda+16\lambda-46=0\\\\50\lambda=50\\\\\lambda=1

Sustituimos este valor de λ en las paramétricas de s y obtenemos el punto Q:

Q=(9,5,4)

La recta r buscada pasa por P y tiene por vector director el vector \overrightarrow{PQ}:

\overrightarrow{PQ}=(9,5,4)-(3,-5,4)=(6,10,0)

Las ecuaciones paramétricas de la recta r son:

\left\{\begin{array}{l}x=3+6\mu\\y=-5+10\mu\\z=4\end{array}\right.

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