Problema 93

Queremos fabricar una caja con base cuadrada, de tal manera que la altura de la caja más el perímetro de la base sumen 60 cm. Determina sus dimensiones para que contenga el mayor volumen posible.


Solución:

La función a optimizar es el volumen de la caja, que como el volumen de cualquier prisma es:

\boxed{V=A_b\cdot h}

En nuestro caso, la base es un cuadrado de lado x y la altura es h. Por tanto, el volumen es una función de dos variables:

V(x,h)=x^2h

No podemos derivar esta función de dos variables. Para eliminar una de las variables utilizamos el dato proporcionado: h+4x=60. Luego, h=60-4x. Sustituimos:

V(x)=x^2(60-4x)=60x^2-4x^3

Calculamos los puntos críticos de esta función:

V'(x)=120x-12x^2\\\\120x-12x^2=0\\\\12x(10-x)=0

ecuación esta última que tiene por soluciones x=0 y x=10. La solución x=0 no tiene sentido pues daría una caja de volumen 0, la segunda daría un volumen total de V(10)=60\cdot 10^2-4\cdot 10^3=2000\mbox{ cm}.

Para comprobar que en x=10 se alcanza un máximo de la función volumen, aplicamos el test de la derivada segunda.

V''(x)=120-24x\\\\V''(10)=-120

como este valor es negativo, en x=10 la función volumen alcanza un máximo.

Más problemas de optimización.

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