Problema 94

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Selectividad Mat II

Sean f:~[0,+\infty)\longrightarrow\mathbb R y g:~\mathbb R\longrightarrow\mathbb R las funciones definidas por f(x)=\sqrt{2x} y \displaystyle g(x)=\frac 12x^2.

a) Halla los puntos de corte de las gráficas de f y g. Haz un esbozo del recinto que limitan.

b) Calcula el área de dicho recinto.

Solución:

a) En el punto donde se cortan ambas gráficas se cumple que f(x)=g(x). Entonces:

\displaystyle \sqrt{2x}=\frac 12x^2\\\\2\sqrt{2x}=x^2\\\\\mbox{Elevando al cuadrado}\longrightarrow4(2x)=x^4\\\\x^4-8x=0\\\\x(x^3-8)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=2.

Para hacer un esbozo de ambas gráficas hemos de recordar que ambas son funciones elementales. La primera, f(x)=\sqrt{2x} es una función irracional creciente y cóncava en todo su dominio, sin asíntotas, definida para todo x≥0 y que pasa por los puntos (0,0) y (2,2). La segunda, \displaystyle g(x)=\frac 12x^2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola convexa cuyo vértice está en \displaystyle \boxed{x_v=\frac{-b}{2a}}=0, y que pasa por los puntos (0,0) y (2,2).

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b) Nos piden hallar el área S del recinto limitado por las dos funciones que en la gráfica anterior es la zona sombreada:

\displaystyle S=\int_0^2\sqrt{2x}-\frac 12x^2~dx=\int_0^2(2x)^{1/2}~dx-\frac 12\int_0^2x^2~dx=\\\\=\frac 12\int_0^22(2x)^{1/2}~dx-\frac 12\left[\frac{x^3}3\right]_0^2=\\\\=\frac 12\left[\frac{(2x)^{3/2}}{3/2}\right]_0^2-\frac 16(8-0)=\\\\=\frac 134^{3/2}-\frac 86=\frac 83-\frac 43=\frac 43\mbox{ u.a.}

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