Sean 
a) Halla los puntos de corte de las gráficas de f y g. Haz un esbozo del recinto que limitan.
b) Calcula el área de dicho recinto.
Solución:
a) En el punto donde se cortan ambas gráficas se cumple que 
Ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=2.
Para hacer un esbozo de ambas gráficas hemos de recordar que ambas son funciones elementales. La primera, 
b) Nos piden hallar el área S del recinto limitado por las dos funciones que en la gráfica anterior es la zona sombreada:
![\displaystyle S=\int_0^2\sqrt{2x}-\frac 12x^2~dx=\int_0^2(2x)^{1/2}~dx-\frac 12\int_0^2x^2~dx=\\\\=\frac 12\int_0^22(2x)^{1/2}~dx-\frac 12\left[\frac{x^3}3\right]_0^2=\\\\=\frac 12\left[\frac{(2x)^{3/2}}{3/2}\right]_0^2-\frac 16(8-0)=\\\\=\frac 134^{3/2}-\frac 86=\frac 83-\frac 43=\frac 43\mbox{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cint_0%5E2%5Csqrt%7B2x%7D-%5Cfrac+12x%5E2%7Edx%3D%5Cint_0%5E2%282x%29%5E%7B1%2F2%7D%7Edx-%5Cfrac+12%5Cint_0%5E2x%5E2%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cfrac+12%5Cint_0%5E22%282x%29%5E%7B1%2F2%7D%7Edx-%5Cfrac+12%5Cleft%5B%5Cfrac%7Bx%5E3%7D3%5Cright%5D_0%5E2%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cfrac+12%5Cleft%5B%5Cfrac%7B%282x%29%5E%7B3%2F2%7D%7D%7B3%2F2%7D%5Cright%5D_0%5E2-%5Cfrac+16%288-0%29%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cfrac+134%5E%7B3%2F2%7D-%5Cfrac+86%3D%5Cfrac+83-%5Cfrac+43%3D%5Cfrac+43%5Cmbox%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\displaystyle S=\int_0^2\sqrt{2x}-\frac 12x^2~dx=\int_0^2(2x)^{1/2}~dx-\frac 12\int_0^2x^2~dx=\\\\=\frac 12\int_0^22(2x)^{1/2}~dx-\frac 12\left[\frac{x^3}3\right]_0^2=\\\\=\frac 12\left[\frac{(2x)^{3/2}}{3/2}\right]_0^2-\frac 16(8-0)=\\\\=\frac 134^{3/2}-\frac 86=\frac 83-\frac 43=\frac 43\mbox{ u.a.}")
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