Problema 95

Considera las matrices

A=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}4&-1\\4&1\end{pmatrix}

a) Halla el determinante de una matriz X que verifique la igualdad X²AX=B.

b) Determina, si existe, la matriz Y que verifica la igualdad A²YB⁻¹=A.


Solución:

a) Utilizaremos para resolver esta pregunta las propiedades de los determinantes. Como X^2AX=B, entonces:

\displaystyle|X^2AX|=|B|\\\\\overset{P.3}\longrightarrow|X^2||A||X|=|B|\\\\\overset{P.3}\longrightarrow|X|^2|A||X|=|B|\\\\\longrightarrow|X|^3=\frac{|B|}{|A|}\\\\|X|=\sqrt[3]{\frac{|B|}{|A|}}

Como |B|=\begin{vmatrix}4&-1\\4&1\end{vmatrix}=8 y |A|=\begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}=-1, entonces:

\displaystyle |X|=\sqrt[3]{\frac{8}{-1}}=-2


b) De la ecuación A²YB⁻¹=A, despejamos Y:

A^2YB^{-1}=A\\\\AAY=AB\\\\AY=A^{-1}AB\\\\AY=IB\\\\Y=A^{-1}B

donde I es la matriz identidad de orden 2.

Calculamos en primer lugar la matriz inversa de A sabiendo que

\displaystyle \boxed{A^{-1}=\frac 1{|A|}(\mbox{Adj }A)^t}

\displaystyle\mbox{Adj }A=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&1\end{pmatrix}\\\\A^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}1&-2\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}

Luego

Y=\begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&-1\\4&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&3\\0&-2\end{pmatrix}

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