Sea r la recta de ecuación
a) Halla el punto de r que equidista del origen de coordenadas y del punto P(4,-2,2).
b) Determina el punto de la recta r más próximo al origen de coordenadas.
Solución:
a) Se define el plano mediatriz como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de otros dos puntos.
Nos piden calcular el punto Q de r que equidista de O(0,0,0) y P(4,-2,2). Dicho punto Q deberá estar en el plano mediatriz de O y P. El plano mediatriz π es un plano que pasa por el punto medio M entre O y P, y tiene por vector normal un vector proporcional al vector
Calculamos el plano mediatriz π:
Obligamos a que este plano pase por M:
Luego el plano mediatriz es:
Este plano corta a r en el punto Q. Para calcular dicho punto sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación implícita del plano mediatriz:
Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de la recta obtenemos el punto Q:
b) Construimos un plano α que sea perpendicular a r y que pase por el origen. Por ser perpendicular a r entonces: vector que no podemos simplificar, luego tomamos
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Este plano ha de pasa por O(0,0,0), luego
Luego el plano α es:
Este plano corta a la recta r en el punto A que es el más cercano de r al punto O: A=r∩α. Para calcular donde se corta recta y plano sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano:
Sustituyendo es valor de λ en las paramétricas de r obtenemos el punto A:
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