Problema 96

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Sea r la recta de ecuación \displaystyle\frac{x+2}3=\frac{y+1}4=z

a) Halla el punto de r que equidista del origen de coordenadas y del punto P(4,-2,2).

b) Determina el punto de la recta r más próximo al origen de coordenadas.

Solución:

a) Se define el plano mediatriz como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de otros dos puntos.

Nos piden calcular el punto Q de r que equidista de O(0,0,0) y P(4,-2,2). Dicho punto Q deberá estar en el plano mediatriz de O y P. El plano mediatriz π es un plano que pasa por el punto medio M entre O y P, y tiene por vector normal un vector proporcional al vector \overrightarrow{OP}=(4,-2,2)-(0,0,0)=(4,-2,2).

\displaystyle M=\frac{O+P}2=\frac{(4,-2,2)}2=(2,-1,1)

\vec n_\pi\propto\overrightarrow{OP}\rightarrow\vec n_\pi=(2,-1,1)

Calculamos el plano mediatriz π:

\pi:~2x-y+z+D=0

Obligamos a que este plano pase por M:

2\cdot 2-(-1)+1+D=0\\\\4+1+1+D=0\\\\D=-6

Luego el plano mediatriz es: \pi:~2x-y+z-6=0

Este plano corta a r en el punto Q. Para calcular dicho punto sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación implícita del plano mediatriz:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=-2+3\lambda\\y=-1+4\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

Q=r\cap\pi:~2\cdot(-2+3\lambda)-(-1+4\lambda)+\lambda-6=0\\\\-4+6\lambda+1-4\lambda+\lambda-6=0\\\\3\lambda-9=0\\\\\lambda=3

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de la recta obtenemos el punto Q:

Q=(7,11,3)

b) Construimos un plano α que sea perpendicular a r y que pase por el origen. Por ser perpendicular a r entonces: \vec n_\alpha\propto\vec v_r=(3,4,1) vector que no podemos simplificar, luego tomamos \vec n_\alpha=(3,4,1).

\alpha:~3x+4y+z+D=0

Este plano ha de pasa por O(0,0,0), luego

3\cdot0+4\cdot0+0+D=0\\\\D=0

Luego el plano α es:

\alpha:~3x+4y+z=0

Este plano corta a la recta r en el punto A que es el más cercano de r al punto O: A=r∩α. Para calcular donde se corta recta y plano sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

3\cdot(-2+3\lambda)+4\cdot(-1+4\lambda)+\lambda=0\\\\-6+9\lambda-4+16\lambda+\lambda=0\\\\26\lambda-10=0\\\\\lambda=26/10=13/5

Sustituyendo es valor de λ en las paramétricas de r obtenemos el punto A:

A=(29/5,47/5,13/5)

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