Problema 100

Considera los puntos B(1,2,-3), C(9,-1,2), D(5,0,-1) y la recta

r\equiv~\left\{\begin{aligned}x+y+1&=&0\\y-z&=&0\end{aligned}\right.

a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son B, C y D.

b) Halla un punto A de la recta r de forma que el triángulo ABC sea rectángulo en A.


Solución:

a) El área S del triángulo BCD es igual a

\displaystyle \boxed{S=\frac{|\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BD}|}2}

\overrightarrow{BC}=(9,-1,2)-(1,2,-3)=(8,-3,5)\\\\\overrightarrow{BD}=(5,0,-1)-(1,2,-3)=(4,-2,2)\\\\\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BD}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\8&-3&5\\4&-2&2\end{vmatrix}=-6\vec\imath+20\vec\jmath-16\vec k+12\vec k-16\vec\jmath+10\vec\imath=(4,4,-4)\\\\|\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BD}|=\sqrt{4^2+4^2+(-4)^2}=4\sqrt3

Luego el áres S es:

\displaystyle S=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\mbox{ u.a.}


b) Pasamos la recta r a paramétricas haciendo el cambio z=λ:

\left\{\begin{array}{l}x=-1-\lambda\\y=\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

por tanto, un punto cualquiera Ar se escribe de la forma A(-1-λ,λ,λ).

Nos piden que calculemos el punto A que forma con B y C un triángulo rectángulo en A, por tanto, se cumplirá que

\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{AC}\longleftrightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0

\overrightarrow{AB}=(1,2,-3)-(-1-\lambda,\lambda,\lambda)=(2+\lambda,2-\lambda,-3-\lambda)\\\\\overrightarrow{AC}=(9,-1,2)-(-1-\lambda,\lambda,\lambda)=(10+\lambda,-1-\lambda,2-\lambda)\\\\\begin{array}{ll}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}&=(2+\lambda)(10+\lambda)+(2-\lambda)(-1-\lambda)+(-3-\lambda)(2-\lambda)=\\&=20+12\lambda+\lambda^2-2-\lambda+\lambda^2-6+\lambda+\lambda^2=\\&=3\lambda^2+12\lambda+12\end{array}

Igualamos a 0 este polinomio de segundo grado y su raíz es λ=-2. Por tanto el punto A es:

A=(1,-2,-2)

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