Problema 101

Sea f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=x^2-|x|.

a) Estudia la derivabilidad de f.

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

c) Calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).


Solución:

a) En primer lugar convertimos esta función con valor absoluto en una función a trozos:

f(x)=x^2-|x|=\left\{\begin{array}{ccc}x^2-x&\mbox{si}&x\geq0\\x^2+x&\mbox{si}&x<0\end{array}\right.

Para estudiar la derivabilidad de esta función primero hay que estudiar la continuidad en x=0:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}x^2-x=0\\\\\lim_{x\rightarrow0^-}x^2+x=0\\\\f(0)=0^2-0=0

La función f es continua en x=0. Veamos si también es derivable:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2x-1&\mbox{si}&x>0\\2x+1&\mbox{si}&x<0\end{array}\right.

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}2x-1=-1\\\\\lim_{x\rightarrow0^-}2x+1=1

Por tanto, la función no es derivable en x=0.


b) Para estudiar la monotonía de una función comenzamos por calcular los puntos críticos (f'(x)=0).

2x-1=0\longrightarrow x=1/2\\\\2x+1=0\longrightarrow x=-1/2

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &(-\infty,-1/2)&(-1/2,0)&(0,1/2)&(1/2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&-&+\\\hline \mbox{Monotonia f(x)}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • Crece: (-1/2,0)∪(1/2,+∞)
  • Decrece: (-∞,-1/2)∪(0,1/2)

c) En x=-1/2 y x=1/2 existen dos mínimos cuyas coordenadas son: (-1/2,-1/4). En x=0 existe un máximo cuyas coordenadas son: (0,0).

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