Problema 101

Sea la función definida por .

a) Estudia la derivabilidad de f.

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

c) Calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).


Solución:

a) En primer lugar convertimos esta función con valor absoluto en una función a trozos:

Para estudiar la derivabilidad de esta función primero hay que estudiar la continuidad en x=0:

La función f es continua en x=0. Veamos si también es derivable:

Por tanto, la función no es derivable en x=0.


b) Para estudiar la monotonía de una función comenzamos por calcular los puntos críticos

  • Crece: (-1/2,0)∪(1/2,+∞)
  • Decrece: (-∞,-1/2)∪(0,1/2)

c) En x=-1/2 y x=1/2 existen dos mínimos cuyas coordenadas son: (-1/2,-1/4). En x=0 existe un máximo cuyas coordenadas son: (0,0).

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