Problema 102

Sea f la función definida por \displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{x^2(x-1)} para x≠0 y x≠1y sea F la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto P(2,ln 2) (ln denota logaritmo neperiano).

a) Calcula la recta tangente a la gráfica de F en el punto P.

b) Determina la función F.


Solución:

a) La ecuación de la recta tangente de una función F en x=x_0 es:

\boxed{y-F(x_0)=F'(x_0)(x-x_0)}

Pero como F es la primitiva de f entonces, f es la derivada de F, es decir, f(x)=F´(x). Luego la ecuación de la recta tangente se puede escribir en este caso como:

y-F(x_0)=f(x_0)(x-x_0)

\displaystyle x_0=2\\\\F(2)=\ln 2\\\\f(2)=\frac{2^2+1}{2^2(2-1)}=\frac{5}{4}

Sustituyendo en la ecuación de la recta tangente:

\displaystyle y-\ln2=\frac 54(x-2)\\\\y=\frac 54x-\frac 52+\ln 2


b) F es la primitiva de f:

\displaystyle F(x)=\int \frac{x^2+1}{x^2(x-1)}~dx

Esta es una integral racional donde el grado del numerador es inferior al del denominador. Hacemos la siguiente descomposición:

\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2(x-1)}=\frac Ax+\frac B{x^2}+\frac C{x-1}=\frac{Ax(x-1)+B(x-1)+Cx^2}{x^2(x-1)}

Como el primer denominador es igual que el último, entonces también son iguales sus numeradores:

x^2+1=Ax(x-1)+B(x-1)+Cx^2

Dando valores arbitrarios a x calculamos A, B y C:

  • Para x=0\longrightarrow 1=-B\longrightarrow B=-1
  • Para x=1\longrightarrow 2=C
  • Para x=2\longrightarrow 5=2A+B+4C

de donde A=-1. Volvemos a la integral original:

\displaystyle F(x)=\int \frac{x^2+1}{x^2(x-1)}~dx=\int \frac{-1}x~dx-\int\frac 1{x^2}~dx+\int\frac 2{x-1}~dx=\\\\=-\ln|x|+\frac 1x+2\ln|x-1|+k

Para obtener k utilizamos el dato F(2)=ln 2:

\displaystyle F(2)=-\ln|2|+\frac 12+2\ln|2-1|+k=\ln 2\\\\-\ln 2+\frac 12+k=\ln 2\\\\k=2\ln 2-\frac 12

Luego:

\displaystyle F(x)=-\ln|x|+\frac 1x+2\ln|x-1|+2\ln 2-\frac 12

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