Problema 103

Considera las matrices

A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&4&9\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}

a) Halla la matriz X que verifica AXB=I (I denota la matriz identidad de orden 3).

b) Calcula el determinante de la matriz (A^2B^{-1})^{2015}.


Solución:

a) Primero despejamos X:

AX-B=I\\\\AX=B+I\\\\X=A^{-1}(B+I)

Calculamos tanto B+I como A⁻¹:

B+I=\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}

Para calcular A⁻¹ utilizamos la fórmula:

\displaystyle\boxed{A^{-1}=\frac 1{|A|}(\mbox{Adj }A)^t}

|A|=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&4&9\end{vmatrix}=18+3+4-2-9-12=2

\mbox{Adj }A=\begin{pmatrix}\begin{vmatrix}2&3\\4&9\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&3\\1&9\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&2\\1&4\end{vmatrix}\\-\begin{vmatrix}1&1\\4&9\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&1\\1&9\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&1\\1&4\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix}1&1\\2&3\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&1\\1&3\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&-6&2\\-5&8&-3\\1&-2&1\end{pmatrix}

\displaystyle A^{-1}=\frac 12\begin{pmatrix}6&-5&1\\-6&8&-2\\2&-3&1\end{pmatrix}

Luego:

\displaystyle X=A^{-1}(B+I)=\frac 12\begin{pmatrix}6&-5&1\\-6&8&-2\\2&-3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}=\frac 12\begin{pmatrix}-4&7&1\\6&-8&2\\-2&3&-1\end{pmatrix}


b) Para calcular el siguiente determinante utilizaremos las propiedades de los determinantes:

\displaystyle|(A^2B^{-1})^{2015}|\overset{P.3}=|A^2B^{-1}|^{2015}\overset{P.3}=(|A^2||B^{-1}|)^{2015}\overset{P.3,4}=\\\\=(|A|^2\cdot1/|B|)^{2015}=(2^2/4)^{2015}=1^{2015}=1

ya que |B|=4.

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