Problema 104

Considera el punto P(1,0,-1) y la recta r dada por \left\{\begin{aligned}x+y&=&0\\z-1&=&0\end{aligned}\right.

a) Halla la distancia de P a r.

b) Determina la ecuación general del plano que pasa por P y contiene a r.


Solución:

a) Para hallar la distancia de un punto a una recta utilizamos la fórmula:

\displaystyle\boxed{d(P,r)=\frac{|\overrightarrow{PP_r}\times\vec v_r|}{|\vec v_r|}}

donde P_r y \vec v_r son un punto cualquiera y el vector director de la recta r respectivamente. Para obtener ambos elementos, escribimos la recta r en forma paramétrica, y para ello, hacemos el cambio x=λ en las ecuaciones implícitas de la recta:

r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=-\lambda\\z=1\end{array}\right.

de estas ecuaciones se deduce que P_r=(0,0,1) y que \vec v_r=(1,-1,0). Luego:

\overrightarrow{PP_r}=(0,0,1)-(1,0,-1)=(-1,0,2)

\overrightarrow{PP_r}\times\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-1&0&2\\1&-1&0\end{vmatrix}=2\vec\jmath+\vec k+2\vec\imath=(2,2,1)

y la distancia pedida es:

\displaystyle d(P,r)=\frac{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}}=\frac 3{\sqrt 2}=\frac{3\sqrt 2}2\mbox{ u.l.}


b) El plano que pasa por P y contiene a r también contiene a P_r. Por tanto, el plano π buscado será en forma vectorial:

\pi:~(x,y,z)=(1,0,-1)+\lambda(-1,0,2)+\mu(1,-1,0)

y la ecuación general:

\begin{vmatrix}x-1&y&z+1\\-1&0&2\\1&-1&0\end{vmatrix}=2y+z+1+2x-2=2x+2y+z-1

\pi:~2x+2y+z-1=0

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